仁华五年级思维导引第3讲

五年级仁华学校四维导引教程,经典奥数教程。

涉及分数的行程问题.顺水速度、逆水速度与流速的关系，以及与此相关的问题.环形道路上的行程问题.解题时要注意发挥图示的辅助作用，有时宜恰当选择运动过程中的关键点分段加以考虑．

1.王师傅驾车从甲地开往乙地交货.如果他往返都以每小时60千米的速度行驶,正好可以按时返回甲地.可是,当到达乙地时,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时55千米.如果他想按时返回甲地,他应以多大的速度往回开?

【分析与解】 设甲地到乙地的路程为单位“1”,那么按时的往返一次需时间

了时间1÷55＝2,现在从甲到乙花费601211??千米,所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是. 60556655

即如果他想按时返回甲地,他应以每小时66千米的速度往回开．

2. 甲、乙两地相距100千米,小张先骑摩托车从甲地出发,1小时后小李驾驶汽车从甲地出发,两人同时到达乙地.摩托车开始速度是每小时50千米,中途减速后为每小时40千米.汽车速度是每小时80千米,汽车曾在途中停驶1O分钟.那么小张驾驶的摩托车减速是在他出发后的多少小时?

【分析与解】 汽车从甲地到乙地的行驶时问为100÷80=1.25小时=1小时15分钟,加上中途停驶的10分钟,共用时1小时25分钟．

而小张先小李1小时出发,但却同时到达,所以小张从甲到乙共用了2小时25分钟，即2最小时．

以下给出两种解法：

方法一:设小张驾驶的摩托车减速是在他出发后x小时,有50×x+40×?2?5??x??100,解得?12?

1x?. 3

所以小张驾驶的摩托车减速是在他出发后1小时. 3

方法二:如果全程以每小时50千米的速度行驶,需100÷50=2小时的时间,全程以每小时40千米的速度行驶,需100÷40=2.5小时

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5

?1的路程,即行驶了依据鸡兔同笼的思想知,小张以每小时50千米的速度行驶了2.5?26

150501?50?小时.

100?100?千米的路程,距出发63332.5?2

3. 一位少年短跑选手,顺风跑90米用了10秒钟.在同样的风速下,逆风跑70米,也用了10秒钟.问:在无风的时候,他跑100米要用多少秒?

【分析与解】 我们知道顺风速度=无风速度+风速,逆风速度=无风速度-风速.

有顺风时速度为90÷10=9米/秒,逆风速度为70÷10=7米/秒．

则无风速度=顺风速度＋逆风速度9＋7＝8米/秒 =22

所以无风的时候跑100米，需100÷8=12.5秒.

1 2

4. 一条小河流过A，B, C三镇.A,B两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每小时11千米.B,C两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5千米.已知A,C两镇水路相距50千米,水流速度为每小时1.5千米.某人从A镇上船顺流而下到B镇,吃午饭用去1小时,接着乘木船又顺流而下到C镇,共用8小时.那么A,B两镇间的距离是多少千米?

【分析与解】 如下画出示意图，

有A?B段顺水的速度为11+1.5=12.5千米/小时,

有B?C段顺水的速度为3.5+1.5=5千米/小时．

而从A?C全程的行驶时间为8-1=7小时．

设AB长x千米,有x50?x??7,解得x=25． 12.55

所以A,B两镇间的距离是25千米.

5.一条大河有A,B两个港口,水由A流向B,水流速度是每小时4千米.甲、乙两船同时由A向B行驶,

各自

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不停地在A,B之间往返航行,甲船在静水中的速度是每小时28千米,乙船在静水中的速度是每小时20千米.已知两船第二次迎面相遇的地点与甲船第二次追上乙船(不算甲、乙在A处同时开始出发的那一次)的地点相距40千米,求A,B两个港口之间的距离.

【分析与解】 设AB两地的路程为单位“1”,则：

甲、乙两人在A、B往返航行，均从A点同时同向出发,则第n次同向相遇时,甲、乙两人的路程差为2n；

甲、乙两人在A、B往返航行,均从A点同时同向出发,则第n次相向相遇时,甲、乙两人的路程和为2n； 甲、乙两人在A、B往返航行,分别从A、B两点相向出发,则第n次同向相遇时,甲、乙两人的路程差为(2n-1)；

甲、乙两人在A、B往返航行,分别从A、B两点相向出发,则第n次相向相遇时,甲、乙两人的路程和为(2n-1)．

有甲船的顺水速度为32千米/小时,逆水速度为24千米/小时，

乙船的顺水速度为24千米/小时，逆水速度为16千米/小时.

两船第二次迎面相遇时,它们的路程和为“4”；甲船第二次追上乙船时，它们的路程差为“4”.

(一)第二次迎面相遇时，一定是甲走了2～3个AB长度，乙走了2～1个AB长度，设甲走了2＋x个AB的长度,则乙走了2-x个AB的长度,有

11x11?x11??＝?，解得x?，即第二次迎面相遇的地点距A点AB的距离. 322432241633

(二)①第二次甲追上乙时，有甲行走2y?z(y为整数，z≤1)个AB的长度，则乙行走了2y?4?z个AB的长度，有

yyzy?2y?2z??＝??，化简得3y?z?20，显然无法满足y为整数，z≤1； 322432241624

②第二次甲追上乙时，有甲行走2y?1?z(y为整数，z≤1)个AB的长度，则乙行走了2y?3?

z个

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AB的长度，有

y?1yzy?1y?2z????，化简有3y?2z?13，有z?0.5，y?4. ＝322424241616

11 即第二次甲追上乙时的地点距B点AB的距离，那么距A也是AB的距离． 22

所以，题中两次相遇点的距离为(?

6.甲、乙两船分别在一条河的A，B两地同时相向而行,甲顺流而下,乙逆流而上.相遇时,甲乙两船行了相等的航程,相遇后继续前进,甲到达B地、乙到达A地后,都立即按原来路线返航,两船第二次相遇时,甲船比乙船少行1000米.如果从第一次相遇到第二次相遇的时间相隔为1小时20分,那么河水的流速为每小时多少千米?

【分析与解】 因为甲、乙第一次相遇时行驶的路程相等,所以有甲、乙同时刻各自到达B、A两地.接着两船再分别从B、A两地往AB中间行驶.所以在第二次相遇前始终是一船逆流、一船顺流,那么它们的速度和始终等于它们在静水中的速度和.

有:甲静水速度+水速=乙静水速度－水速.

还有从开始到甲第一次到达B地，乙第一次到达A地之前,两船在河流中的速度相等.所以甲船比乙船少行驶的1000米是在甲、乙各自返航时产生的．

甲乙返航时,有甲在河流中行驶的速度为:甲静水速度-水速,乙在河流中的速度为:乙静水速度+水速.它们的速度差为4倍水速．

从第一次相遇到第二次相遇,两船共行驶了2AB的路程,而从返航到第二次相遇两船共行驶了AB的路程,需时间80÷2=40分钟．

有4倍水速=1000???11?1???AB，为40千米，所以AB全长为240千米.

23?6??40???1500,有水速=375米/小时=0.375千米/小时． 60??

即河水的流速为每小时0.375千米．

7.甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行.现在已知甲走一圈的时间是70分钟，如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟?

【分析与解】 甲行走45分钟，再行走70－45=25分钟即可走完一圈.而甲行走45分钟，乙行走45分钟也能走完一圈.所以甲行走25分钟的路程相当于乙行走45分钟的路程．

甲行走一圈需70分钟，所以乙需70÷25×45=126分钟．

即乙走一圈的时间是126分钟．

8.如图3-1，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的

方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前

60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．

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【分析与解】 注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完

遇时，甲乙共走完1+1圈的路程，当甲、乙第二次相213＝圈的路程． 22

所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100×3=300米．

有甲、乙第二次相遇时，共行走(1圈－60)+300，为

3圈，所以此圆形场地的周长为480米．

2

9.甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的

一圈提高了2.甲跑第二圈时速度比第311；乙跑第二圈时速度提高了．已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的35

最短路程是190米，那么这条椭圆形跑道长多少米?

【分析与解】设甲跑第一圈的速度为3，那么乙跑第一圈的速度为2，甲跑第二圈的速度为4，乙跑第二圈的速度为12. 5

3的跑道长度． 5

21 有甲回到出发点时，乙才跑了的跑道长度.在乙接下来跑了跑道的距离时，甲以“4”的速度跑了3312?2?4?圈． 33

112 所以还剩下的跑道长度，甲以4的速度，乙以的速度相对而跑，所以乙跑了35 如下图，第一次相遇地点逆时针方向距出发点

11?12?12??1????4????圈.也就是第二次相遇点逆时针方向距出发点圈． 83?5?5??8

3119??圈， 5840

19?400米．

所以，这条椭圆形跑道的长度为190?40即第一次相遇点与第二次相遇点相差