专题六：有理数及其运算知识梳理

专题六：有理数及其运算知识梳理

知识点1.负数代表相反意义的量

例：（1）下列有正数和负数表示相反意义的量，其中正确的是（ ）

A. 一天凌晨的气温是—50C，中午比凌晨上升100C，所以中午的气温是+100C

B. 如果生产成本增加12%，记作+12%，那么—12%表示生产成本降低12%

C. 如果+5.2米表示比海平面高5.2米，那么—6米表示比海平面低—6米

D. 如果收入增加10元记作+10元，那么—8表示支出减少8元

（2）某粮店出售三种品牌的面粉，袋上分别标有质量为（50±0.1）kg、（50±0.2）kg、（50±0.3）kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差.

知识点2.有理数的定义

例：1.把下列各数填在相应的大括号内

3.3333,0，-7，3.5，，1

2π，+29,1.362109…,-1.15，-0.1010010001? 3

非负数集合{ }；

整数集合{ }；

负分数集合{ }；

有理数集合{ }。

2. 最小的正整数是.最小的自然数是

知识点3.数轴与相反数

1.数轴上到-2点的距离是3的点是2.a与b互为相反数，c与d互为倒数，

3.不大于5.2的非负整数有 ；不大于3

有 ；不小于-5的负整数有 .

4.有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，用“＞”或“＜”填空．

a＋b0，b－c，ab，abc0，－（a－b）0．

5 在数轴上表示下列各数及它们的相反数，并把它们的相反数用“>”连接．

2，–1 , |?1

知识点4.绝对值

1.若∣a∣=-a，则a ，若∣a∣=a，则a

若a为有理数，且1的非负整数21| ，0 2abcabc?，则?1,?1,，若a<0，则abac

2. ∣3-π∣= 。

3. 若用A、B、C分别表示有理数a，b，c，O为原点，如下图所示：

化简2c?|a?b|?|c?b|?|c?a|

4.绝对值为2的数是 ，绝对值小于6的所有整数是

5.若∣x∣=3，∣-y∣=3，则x+y=

6.若∣a∣=3,∣b∣=5, 且ab>0，则∣a+b∣若|X|=2，则X=______,若|X—3|=0，则X=______，|X—3|=6，则X=______

若∣a∣=∣b∣，则a与b ，即 。

如果x，y满足条件x?4,y?3,x?y?y?x，那么x?2y= __________.

7. ∣a+2∣+∣b-3∣=0，a+b=

8. 平方等于它本身的数是 ，立方等于它本身的数是 ，倒数等于它本身的数是 ，相反数等于本身的数是 。

9. 平方等于0.16的数是 ，立方等于－27的数是 ．

知识点5.有理数的乘方

1.若a2=4，b2=9，则，.若a3=8，b3=-27，则

2.若a2=b2 ，则a与b ，即 。

3.当3-（x-5）2有最大值为

4.若（a-2）2+（b+4）2=0，则ba

知识点6.混合运算

1313?(??)?24 例1：212864

÷（－2）－×12－753÷4

?377??7?22 ?1??????? －7+2×??3?+（－6）÷?4812??8?

2???

124－1+（1－0.5）××［2×??3?] ??2?÷（-8）－34???32×（-2）

1115168?(?22)?4 ?99?9 0.0125?3??(?87.5)??5716159

知识点7.有理数的应用

1、某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：+9、 ?3、 ?5、 +4、 ?8、 +6、 ?3、?6、 ?4、 +10。

（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？

（2）若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？(8分)

2、某中学位于东西方向的人民路上，这天学校的王老师出校门去家访，她先向东走100米到聪聪家,再向西走150米到青青家,再向西走200米到刚刚家,请问:

(1)聪聪家与刚刚家相距多远?

(2)如果把这条人民路看作一条数轴,以向东为正方向,以校门口为原点,请你在这条数轴上标出他们三家与学校的大概位置(数轴上一格表示50米).

(3)聪聪家向西210米是体育场，体育场所在点所表示的数是多少?

(4)你认为可用什么办法求数轴上两点之间的距离? (10分)

能力提升：

1：（1）

111???1?33?55?7?11111??? （2） 56729011097?992：（1）5?52?53?

3：（1）1?3?5?

4：（1）?1???

?52011 （2）1－11111111＋－＋－＋－＋ 816322464128256?109 （2）1?11??1?21?2?3?1 1?2??50??1213?1??11????2007??23?1??11???1???2008??23?1??11????2008??23?1?? 2007?

（2）2000?1990?1980?1970???20?10 111111(1?)(1?)(1?)(1?)?(1?)(1?)23459991000

5： 试求|x?1|?|x?2|?|x?3|???|x?1997|的最小值．

练习： 试求x?2?x?4?x?6???x?的最小值．

6： （1）已知1?x?3x?3

x?3?x?1

x?1；②x??3?x

（2）已知a、b、c是有理数，求abc??的值． abc

abcabc???的所有可能的值。 abcabc（3）如果a、b、c是非零有理数，且a?b?c?0，求

7：已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。

⑴若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；

⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值。若不存在，请说明理由？

⑶当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？