专题三 中考数学压轴题函数面积问题

专题三 中考数学压轴题函数面积问题

中考数学压轴题函数面积问题

1、

如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线y m(x＞0)交于点B(2，1)．过点

xmm

N两点． P(p,p 1)(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线y (x＞0)和y (x＜0)于M、

xx

（1）求m的值及直线l的解析式；

（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；

（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的

值；若不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中．

2．第（3）题把S△AMN＝4S△AMP转化为MN＝4MP，按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论．

具体解答

m

上，所以m＝2．设直线l的解析式为y kx b，x

k b 0,k 1,

代入点A(1，0)和点B(2，1)，得 解得 所以直线l的解析式为y x 1．

2k b 1. b 1.

（1）因为点B(2，1)在双曲线y

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（2）由点P(p,p 1)(p＞1)的坐标可知，点P在直线y x 1上x轴的上方．如图2，当y＝2时，点P的坐标为(3，2)．此时点M的坐标为(1，2)，点N的坐标为(－1，2)．

由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知△PMB为等腰直角三角形． 由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知△PNA为等腰直角三角形． 所以△PMB∽△PNA．

图2 图3 图4

（3）△AMN和△AMP是两个同高的三角形，底边MN和MP在同一条直线上． 当S△AMN＝4S△AMP时，MN＝4MP．

22 2 ． ①如图3，当M在NP上时，xM－xN＝4(xP－xM)．因此 ( ) 4(x 1) 解

x x x

得x

或x P在x

轴下方，舍去）．此时p

②如图4，当M在NP的延长线上时，xM－xN＝4(xM－xP)．因此

2 2 2 ．

解得P在x轴下方，舍去）．此

x

x ( ) 4 (x 1) x x x

时p 2 、

如图1，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，CB∥OA，OC＝4，BC＝3，OA＝5，点D在边OC上，CD＝3，过点D作DB的垂线DE，交x轴于点E．

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（1）求点E的坐标；

（2）二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点B和点E． ①求二次函数的解析式和它的对称轴；

②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方，满足S△CEM＝2S△ABM，求点M的坐标．

图1

思路点拨

1．这三道题目步步为赢，错一道题目，就要影响下一道的计算．

2．点M在抛物线的对称轴上且位于x轴上方，要分两种情况讨论，分别为点M在线段FB和FB的延长线上．因为用点M的纵坐标表示△ABM的底边长，因点M的位置不同而不同．

具体解答

（1）因为BC∥OA，所以BC⊥CD．因为CD＝CB＝3，所以△BCD是等腰直角三角形．因此∠BCD＝45°．又因为BC⊥CD，所以∠ODE＝45°．所以△ODE是等腰直角三角形，OE＝OD＝1．所以点E的坐标是（1，0）．

（2）①因为抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B（3，4）和点E（1，0），所以

9 3b c 4, b 6,

解得所以二次函数的解析式为y＝－x2＋6x－5，抛物线的对

1 b c 0.c 5.

称轴为直线x＝3．

②如图2，如图3，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，点M的坐标为（3，t）．

专题三 中考数学压轴题函数面积问题

S CEM S梯形OFMC S MEF S COE

111t

(4 t) 3 2 t 1 4 4． 2222

1

(4 t) 2 4 t．解方程2

（ⅰ）如图2，当点M位于线段BF上时，S ABM

t88

4 2(4 t)，得t ．此时点M的坐标为（3，）．

525

（ⅱ）如图3，当点M位于线段FB延长线上时，S ABM 方程

1

(t 4) 2 t 4．解2

t

4 2(t 4)，得t 8．此时点M的坐标为（3，8）．

2

图2 图3

3 、

如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y

1

x b交折线OAB于点E． 2

（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；

（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

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图1

思路点拨

1．数形结合，用b表示线段OE、CD、AE、BE的长．

2．求△ODE的面积，要分两种情况．当E在OA上时，OE边对应的高等于OC；当E在AB边上时，要利用割补法求△ODE的面积．

3．第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形．

4．图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理．

具体解答

(1)①如图2，当E在OA上时，由y 2b．此时S＝S△ODE＝OE OC

1

x b可知，点E的坐标为(2b,0)，OE＝2

121

2b 1 b． 2

1

x b可知，点D的坐标为(2b－213

2,1)，CD＝2b－2，BD＝5－2b．把x＝3代入y x b可知，点E的坐标为(3,b )，

22

35

AE＝b ，BE＝ b．此时

22

②如图3，当E在AB上时，把y＝1代入y S＝S矩形OABC－S△OAE－ S△BDE －S△OCD ＝3

13151

3(b ) ( b)(5 2b) 1 (2b 2) 22222