专题五 中考数学压轴题函数梯形问题

专题五 中考数学压轴题函数梯形问题

中考数学压轴题函数梯形问题

1、已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．

（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；

（2）如图1，在直线 y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N． 将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN． 在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．

图1 图2

思路点拨

1．第（2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行四边形的情况．

2．第（3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是PO的中点．

具体解答

（1）设抛物线的解析式为y a(x 4)2 k，代入A（2，0）、C(0，12) 两点，得 4a k 0, a 1, 解得 16a k 12. k 4.

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所以二次函数的解析式为y (x 4)2 4 x2 8x 12，顶点P的坐标为（4，－4）．

（2）由y x2 8x 12 (x 2)(x 6)，知点B的坐标为（6，0）．

假设在等腰梯形OPBD，那么DP＝OB＝6．设点D的坐标为(x，2x)．

由两点间的距离公式，得(x 4)2 (2x 4)2 36．解得x

如图3，当x＝－2时，四边形ODPB是平行四边形．

所以，当点D的坐标为(2或x＝－2． 524，)时，四边形OPBD为等腰梯形．

55

图3 图4 图5

（3）设△PMN与△POB的高分别为PH、PG．

在Rt△PMH

中，PM，PH MH t．所以P'G 2t 4．

在Rt△PNH中，PH t，NH 113PH t．所以MN t． 222

① 如图4，当0＜t≤2时，重叠部分的面积等于△PMN的面积．此时

133S t t t2． 224

②如图5，当2＜t＜4时，重叠部分是梯形，面积等于△PMN的面积减去△P′DCP'G 2t 4 323的面积．由于S△P'DC ，所以S t (2t 4)2． △P'DC S△PMN PH 4 t 422

339此时S t2 (2t 4)2 t2 12t 12． 444

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2、

如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y ＝12x 1，点C的坐标4

为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上．

(1) 写出点M的坐标；

(2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时．

① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；

② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1∶2时，求t的值．

图1

思路点拨

1．第（1）题求点M的坐标以后，Rt△OCM的两条直角边的比为1∶2，这是本题的基本背景图．

2．第（2）题中，不变的关系是由平行得到的等角的正切值相等，根据数形结合，列关于t与x的比例式，从而得到t关于x的函数关系．

3．探求自变量x的取值范围，要考虑梯形不存在的情况，排除平行四边形的情况．

4．梯形的两底的长度之比为1∶2，要分两种情况讨论．把两底的长度比转化为QH与MO的长度比．

具体解答

(1)因为AB＝OC＝ 4，A、B关于y轴对称，所以点A的横坐标为2．将x＝2代入y＝12x 1，得y＝2．所以点M的坐标为（0，2）． 4

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(2) ① 如图2，过点Q作QH x轴，设垂足为H，则HQ＝y 12x 1，HP＝x– t ． 4

因为CM//PQ，所以∠QPH＝∠MCO．因此tan∠QPH＝tan∠MCO，即

HQOM1111 ．所以x2 1 (x t)．整理，得t x2 x 2． HPOC2422

如图3，当P与C重合时，t 4，解方程 4 12x x

2，得x 1 2

如图4，当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x＝ 2． 因此自变量x

的取值范围是x 1x 2的所有实数．

图2 图3 图4

②因为sin∠QPH＝sin∠MCO，所以PQHQHQOM ，即． CMOMPQCM

PQHQ1112 时，HQ OM 1．解方程x 1 1，得x 0（如图5）．此CMOM224

时t 2． 当

当PQHQ1 2时，HQ 2OM 4．解方程x2 1

4，得x ． CMOM4

如图6

，当x

t 8 6

，当x

t 8

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图5 图6 图7

3、

已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A的坐标为(4,0)，点C的坐标为(0， 2)，直线y

(1)求点D的坐标；

(2)抛物线y ax2 bx c经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；

(3)在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2x与边BC相交于点D． 3

图1

思路点拨

1．用待定系数法求抛物线的解析式，设交点式比较简便．

2．过△AOD的三个顶点分别画对边的平行线与抛物线相交，可以确定存在三个梯形．

3．用抛物线的解析式可以表示点M的坐标．

具体解答