线性代数习题及答案-华南理工大学工版

习题一

1.计算下列排列的逆序数 1）9级排列 134782695； 2）n级排列 n(n 1)

2。1

解：（1） (134782695) 0 4 0 0 4 2 0 0 0 10 ；

n(n 1)

(n 1) (n 2) 1 0

2 。 （2） [n(n 1)21] 2.选择i和k，使得： 1）1274i56k9成奇排列；

2）1i25k4897为偶排列。

解：（1）令i 3,k 8，则排列的逆序数为： (127435689) 5，排列为奇排列。从而i 3,k 8。

（2）令i 3,k 6，则排列的逆序数为： (132564897) 5，排列为奇排列。与题意不符，从而i 6,k 3。 3.由定义计算行列式

a11a21a31a41a51

aaaaa

1222324252

000aa

000a53a

43

000a5a4

44

4555 。

解：行列式＝j1j2j3j4j5，因为j1,j2,j3至少有一个大于3，

aaaaa 0aaa

所以1j12j23j3中至少有一数为0，从而1j12j23j34j45j5（任意j1,j2,j3,j4,j5），于是j1j2j3j4j5

4.计算行列式：

( 1)

(j1j2j3j4j5)

a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5

( 1)

(j1j2j3j4j5)

a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5 0

。

1

40 2 13122 4

1114124

1）

111； 2） 1111202

1 111052011 1； 3）0117；

a2b23279

284c2

2

5 12525d4）；5）

4

64

16

(a 1)2

(b 1)2(c 1)2(d 1)2(a 2)2(b 2)2(c 2)2(d 2)2

(a 3)2(b 3)2(c 3)2

(d 3)2。

解：（1） 40 ； （2） －16 ；（3） 0 ；（4）－1008 ；（5） 0 。

5.计算n阶行列式：

x000y

1）

y

x000

0yx00

000x0

00011023 102 200

00

n 100n00

y0x； 2）011

2 n0

n

11

n；

a1

111 a2

3）

1

222222232

000x

000

222n

11

x0x0

0yx

1 an

22

（ai 0）；

4

）

y000

xy00

( 1)n 1y0x

x

yx

。

0解：

（1）原式

=00

n

n

1nx ( 1)y

。 =

00

y（按第一列展开）

n(n 1)21000

23n 100

n00

102 200

00

（2）行列式=第一列展开）

2 n0

n 11 n（后n 1列和加到第一列，再按

n(n 1)

( 1)( 2)(1 n)

=2

(n 1)!( 1)n 1

2 。 =

100

11 a11

111 a2

1

1111 an

01

（3）行列式=

为n 1级行列式）

（第一行第一列为添加的部分，注意此时

1 a1

00 1an

1a100

1

0a20

10

0an

r2 r1r3 r1

111 1a10 10a2

1

c1 a1c2

11

c1 a2c3

00anc1 ancn 1rn 1 r1 1

11

(1 )a1a2an

a1an

= 。

1

r2 r1

r3

r1

1111

2000

20

2010

200n 2

（

4）行列式

rn r1

22

1 ( 1)2 1

01

00=

2(n 2)! 。

n 2（按第二行展开）

提高题

1.已知n级排列j1j2

jn 1jn的逆序数为k，求排列jnjn 1j2j1的逆序数。

解：设原排列j1j2jn 1jn中1前面比1大的数的个数为k1，则1后面比1大的数的个数为(n 1) k1，于是新排列jnjn 1j2j1中1前比1大的个数为(n 1) k1个；依此类推，原排列j1j2

jn 1jn中数i前面比i大的数的个数为ki，则新排列jnjn 1

jn 1jn) k1 k2

j2j1中i前

比i大的个数为(n i) ki个记 (j1j2

kn 1 k，故新排列的逆

序数为

[(n 1) k1] [(n 2) k2] 2.由行列式定义计算

[(n (n 1) kn 1]

1 2 (n 1) k

n(n 1)

k2。

2xx11x1 f(x)

32x1

111x中x4与x3的系数，并说明理由。

解： 由于行列式定义中的每一项来自于不同行和不同列的n个元素的乘积。而该行

4

列式中每个元素最高含x的一次项，因此x的项只能由对角线上的元素乘积所得到

x4，故x4的系数为( 1)

3

(1234)

2＝2。

(2134)

同样的考虑可得x的系数为( 1)

＝－1。

11

P(x) 1

1

xa1a2an 1

x2a122a2

2an 1

xn 1

a1n 1n 1

a2

n 1an 1

3.设

，其中ai互不相同。

1）说明P(x)是一个n 1次多项式；

2）求P(x) 0的根。

11 1 A12 x 解：1) 把P(x)按第一行展开得：P(x) A

1A1n

11

a1a2an 1

a1n 2

n 2

a2

n 1

A1n x。

0

而

根据范德蒙行列式 P(x) (x a1)(x a2)2)

n 2an 1

，所以P(x)是一个n 1次多项式。

(x an)(a1 a2)(a1 an)(a2 a3)(a2 an)

因为x ai （i 1,2,,n 1）代入P(x)中有两行元素相同，所以行列式为

零，从而P(x) 0的根为a1,a2,,an 1 。

(an 1 an)

习题二解答

1. 计算

x1

1）

2430

2）已知；求 A、A、A。

222ax (a a)xx (a a)xx ax (a a)xx ax122112133113222233223333 ； 解：1）111

a11

x2x3 a21

a 31 0

10A

10

1

a12

a22a32

a13 x1 a23 x2

a33 x3

；

0 0

00023 A A 100 0

100 ； 1 2）

11 311

B 2 1A 212

10 123

2. 设 1）， abc 1 1A cbaB

111 1 2），

a b c 22 2

200

a b c

4 4 2 3

解：1）

；2）

0

000 A4

000 00

000 ；0000 。 1 0 1 ，求 AB BA。

ac bb ca ，求 AB。 a2 b2 c2b2 2ac 2222 b 2aca b c a b ca b c

a21

a22a2n

。

3. 设A是n阶实方阵，且A A 0。证明A 0。

a11 aA 21

an1

证明：设

22 a11 a21

A A

a12

a22an2

2 an1

a1n a11

aa2n A 12

ann a1n

，则an1 an2 ann

。从而。

22a12 a22

2

an2

2

a12n a2n

0 2 ann

。所以