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非线性偏微分方程在金融衍生品定价中的应用

上传者:乐东农
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上传时间:2015-04-21
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非线性偏微分方程在金融衍生品定价中的应用

非线性偏微分方程在金融衍生品定价中的应用

Black-Scholes期权定价公式对金融衍生品的发展起了不可估量的作用,是金融衍生品的定价的基础。然而BS方程是建立在六大假设的基础上得到的,现实中不可能全部满足这些假设,后来许多研究者对于方程的假设做了一些修改,其中一些结果是应用了非线性偏微分方程对金融衍生品定价。本文主要介绍这方面的成果。

关键词:非线性偏微分方程 金融衍生品 定价

一般认为Black-Scholes期权定价公式是现代金融的基础,是现代金融产品定价的核心,以后的金融定价理论都是在此基础上发展起来的,从数学角度来讲,这个方程是一个比较简单的二阶线性抛物方程,通过简单的变形容易得到解析解。 Willmott(2000)的著作中就用相似解的方法得到解的表达式。但BS方程是建立在六个假设的基础上的,金融市场上变化因素很多,往往很难同时满足BS模型的这些假设条件,比如现实交易中应该考虑交易成本的问题,波动率不可能是一个常数,股价并不一定服从对数正态分布等等,为了解决这些问题,一些研究者提出了完全非线性方程。大概有两种,本文就此进行了论述。

两阶模型

第一种是两阶模型,这种方法主要是对于BS公式的假设进行改进,主要有:

(一)加入证券的交易成本

现实市场中,证券的交易是要有成本的,然而BS模型的假设中没有考虑到交易成本,对于此, Leland(1985)考虑交易成本的期权的定价模型时,他认为不管每一个时间间隔是否是最优,都要进行Delta 对冲,来求算考虑交易成本的期权定价的模型,这样所得出的模型只要将BS模型中的设为常数的波动率进行修改就可以了,比较简单。而后,Hoggard,Whalley&Willmott(1992)中利用Taylor展开得到了完全非线性方程:

,k为交易费率。

从上式可以看出,对于单个看涨或者看跌期权,因为其Gamma值都为正,通过变形可以得到其BS模型对应的波动率,这和Leland所得到的结果类似。不过这个模型还可以用来处理Gamma值不是单符号的期权组合的定价问题,还讨

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