非线性偏微分方程在金融衍生品定价中的应用
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非线性偏微分方程在金融衍生品定价中的应用
非线性偏微分方程在金融衍生品定价中的应用
Black－Scholes期权定价公式对金融衍生品的发展起了不可估量的作用，是金融衍生品的定价的基础。然而BS方程是建立在六大假设的基础上得到的，现实中不可能全部满足这些假设，后来许多研究者对于方程的假设做了一些修改，其中一些结果是应用了非线性偏微分方程对金融衍生品定价。本文主要介绍这方面的成果。
关键词：非线性偏微分方程 金融衍生品 定价
一般认为Black－Scholes期权定价公式是现代金融的基础，是现代金融产品定价的核心，以后的金融定价理论都是在此基础上发展起来的，从数学角度来讲，这个方程是一个比较简单的二阶线性抛物方程，通过简单的变形容易得到解析解。 Willmott(2000)的著作中就用相似解的方法得到解的表达式。但BS方程是建立在六个假设的基础上的，金融市场上变化因素很多，往往很难同时满足BS模型的这些假设条件，比如现实交易中应该考虑交易成本的问题，波动率不可能是一个常数，股价并不一定服从对数正态分布等等，为了解决这些问题，一些研究者提出了完全非线性方程。大概有两种，本文就此进行了论述。
两阶模型
第一种是两阶模型，这种方法主要是对于BS公式的假设进行改进，主要有：
（一）加入证券的交易成本
现实市场中，证券的交易是要有成本的，然而BS模型的假设中没有考虑到交易成本，对于此， Leland（1985）考虑交易成本的期权的定价模型时，他认为不管每一个时间间隔是否是最优，都要进行Delta 对冲，来求算考虑交易成本的期权定价的模型，这样所得出的模型只要将BS模型中的设为常数的波动率进行修改就可以了，比较简单。而后，Hoggard,Whalley&Willmott(1992)中利用Taylor展开得到了完全非线性方程：
，k为交易费率。
从上式可以看出，对于单个看涨或者看跌期权，因为其Gamma值都为正，通过变形可以得到其BS模型对应的波动率，这和Leland所得到的结果类似。不过这个模型还可以用来处理Gamma值不是单符号的期权组合的定价问题，还讨
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