2014年九年级数学竞赛试题精品

区级竞赛题目附答案

2014年九年级数学竞赛（复赛）试题

温馨提示：（1）本试卷共4页，24小题，全卷满分120分。考试时间120分钟。

（2）各题的答案都做在答题卡上。

一、选择题（每小题4分，共20分）

1、若方程8x2+2kx+k-1=0的两个实数根是x1,x2且满足x12+x22=1，则k的值为（ ）

A. -2或6 B. -2 C. 6 D. 4

2、如图，平形四边形ABCD中，BC?2AB,DE?AB,M是BC

的中点，?BEM＝50则?B的大小是（ ）

A. 100 B.110 C. 120 D. 135

3、在平面直角坐标系中，已知点A（?4，0），B（2，0），若点C在一次函数

y??1 x?2 的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有（ ）200000

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4、已知△ABC三边分别为a,b,c满足b?c?8,bc?a2?12a?52,则△ABC的形状

一定是（ ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定

5、

设S?1111…+， ????22222012201320132014

则与S最接近的整数是（ ）

A．2012 B．2013 C．2014 D．2015

二、填空题（每小题4分，共40分）

6、已知m,n是实数，且满足4m2?9n2?4m?6n?2?0,那么分式

18n2?24n?4的值是＿＿＿。 24m?4m?1

7、如图，Rt△ABC中，?A?900,?B?300,AB?33,E、F为AB上两点，AE?BF,EG∥FH∥AC,则EG?FH的值等于＿＿＿。

8、在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B＝60°，则ca的值?a?bc?b为

9、如图，AA′、BB′分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA′＝BB′＝AB，则∠BAC的度数为＿＿＿ ′ a?b2210、设a＜b＜0，a+b=4ab，则的值为

a?b

（共4页 第1页）

区级竞赛题目附答案

11、已知

x2

,求4? x?x2?1

第13题图 12、已知实数a、b、x、y满足a?b?x?y?2，ax?by?5，则

(a2?b2)xy?ab(x2?y2)?13、矩形纸片ABCD中，AB?3cm，BC?4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，

设折痕为EF，则重叠部分△AEF的面积等于______

14、如图．AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E点，BC交⊙O于D点，CD?BD，

?C?70?．现给出以下四个结论: ①?A?45?；②AC?AB；③弧AE?弧BE；④CE?AB?

2BD

2223a,b,cac?bc?b?abc,若三角形的一个内角15、已知为三角形的三条边长，满足条件

为100，则三角形的另两个角的大小分别是＿＿＿。

三、解答题（共60分）

16 (6分)有一水池，池底有泉水不断涌出，要将满池的水抽干，用12台水泵需5小时，用

10台水泵需7小时，若要在2小时内抽干，至少需水泵几台？

17（6分）、若方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0有一个公共根，（a≠b）,求(a?b)2014的值．

18（6分）把1、2、3、……14、15这15个数分成两组，是的第一组的和等于第二组的平

均数，请写出所有的分法并说明理由！

（共4页 第2页）

区级竞赛题目附答案

19、（6分）已知实数z、y、z满足x+y=5及z2=xy+y-9，求x+2y+3z的值

20、（6分）在Rt△ABC中，AC＝BC，AD是中线，CE⊥AD，交AB于点E。求证：AE=2BE （要求，自己作图进行解答）

21、（6分）已知点P是三角形ABC内任意一点，连接PA、PB、PC分别交BC、AC、AB于点D、E、F。求证：

22、（8分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF．将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．

（1）求证：△ABE∽△ECM；

（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；

（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．

（共4页 第3页）

PDPEPF++=1 ADBECF

区级竞赛题目附答案

23.（8分）已知：如图一次函数y＝1x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次2

函数y＝1x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝1x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、22

E两点且D点坐标为(1，0)

(1)求二次函数的解析式；

(2)求四边形BDEC的面积S；

(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．

第23题图

24.（8分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．

（1）求证：△DHQ∽△ABC；

（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；

（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？

（第24题）

（共4页 第4页）

区级竞赛题目附答案

2014年九年级数学竞赛（复赛）试题答案

一、选择题（每小题4分，共20分）

1、B（注意判别式的值为非负数）（

2、A；本题有两种方法：（1）延长EM交DC的延长线于点N，则：△BEM≌△NCM， ∴E M=NM

连接DM， ∴DM=EM=MN，由于∠N=∠BEM=∠MDF=∠MDC

∴∠DCM=80°，∴∠B=100°

（2）取ED的中点H，连接MH，可以知道MH是梯形BEDC的中位线，连接DM，可以求出

3、D；此题只需要画出图像，易得！

4、A；因为b,c可以看成是方程：x-8x+(a?12a?52)=0,

∴△=(?8)2-4（a?12a?52）≥0，

整理得：a=6

把a=6代入原方程可以得到：b=c=4

可以知道△ABC的形状等腰三角形

5、C ∵222n(n?1)?12

n(n?1)2=11n(n?1)?1=1+?， nn?1n(n?1)

∴原式=2013+1-11=2014- 20152015

∴选择C

二、填空题（每小题4分，共40分）

6、-1 原式=(2m?1)?(3n?1)?0

可以得到：m=2211,n=- 23

代入原式可以求出结果！

7、3 利用平行得到相似三角形以及30°的性质可以的得到！；

8、1 由余弦定理知道（或者过点A做AD⊥BC，可以得到结论：

cab2?a2?b2?2abcos60?， 再把通分化简得到结果1 ?a?bc?b

9、12°设∠DBB′＝X.∠BAA′＝Y.有∠ABA′＝2X

∵AA′＝AB.∴Y+4X＝180°①

又∠BAC＝180°-2Y.

∠DBB′＝2∠BAC. （∵AB＝BB′）.

即X＝2（180°-2Y）②.

①②消去X,得到Y＝84°

∠BAC＝12°

10、3；由已知得：?a?b??6ab;(a?b)2?2ab 以及设a＜b＜0，可以得到： 2

a?b??ab;a?b??ab 进而求出结果！

（共4页 第5页）