班课直线与椭圆相交问题 Microsoft Office Word 文档

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班课直线与椭圆相交问题 Microsoft Office Word 文档

解析几何三--------（2）直线与椭圆的位置关系(高二)

【知识链接】

1.直线与圆的位置关系：椭圆与直线有几种位置关系 ① 判断方法一（代数法）：直线斜率存在时??y?kx?b

?mx?ny?122?

当??0时直线和椭圆相交当??0时直线和椭圆相切

当??0时直线和椭圆相离 ② 判断方法二（几何法）：

?x??? 直线斜率不存在时?x2y2判断y有几个解

?2?2?1?ab

注：1无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，

而不是看"?"。 0

20直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。

x2y2

??1相交、相切、相离？例1：当实数m分别取何值时，直线y??x?m与与椭圆205

2.点与圆的位置关系的判断：点于椭圆位置关系的判断

3.圆的弦长公式圆锥曲线的弦长公式

第1页

注：1）.两点间距离公式：

2.）韦达定理公式：

3.）中点坐标公式：

4.）设而不求，整体代换思想

5. 设直线方程的一些常用技巧：

(1)知直线纵截距b，或无直线信息时，常设其方程为y?kx?b&x=m.

(2)知直线过点(x0,y0)，当斜率k存在时，常设其方程为y?k(x?x0)?y0，当斜率k不存在时，则其方程为x?x0；

(3)知直线横截距x0，常设其方程为x?my?x0(它不适用于斜率为0的直线)； 6.直线系：

【学习过程】

一．例题自学

题型一：直线与椭圆的位置关系：

x2y2

??1位置关系是怎样的？变式：y=k(x-1)与205

例2 直线y=mx+1与椭圆x2+4y2=1有且只有一个交点，则m2=

(A)

1234 (B) (C) (D) 2345

第2页

题型二：弦长问题：弦长问题

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弦长公式AB?1?x2??1?y2

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注：x1?x2?

x1?x2和x1x2可用韦达定理解决，不必求出x1 和x2的精确值，“设而不求”思想初现。

?y2?1的右焦点交椭圆与A、B两点.，求弦AB的例2：（1）已知斜率为1的直线l过椭圆4

长.

x2?y2?1相交于A、B两点，且弦长AB?（2）过点P（0,2）的直线与椭圆，求直线方23

程.

题型三：中点弦问题：

例3：已知一直线与椭圆4x2?9y2?36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的直线方程

x2y2

??1的弦AB，并使P为弦AB的中点，则|AB|= .过点P(1,1)作椭圆42

x2y2

??1内有一点P（2，1）椭圆E：，求经过P并且以P为中点的弦所在直线方程. 164

第3页

题型四：最值问题：

x2y2

??1, 直线l:4x?5y?40?0,椭圆上是否存在一点,它到直线的距离最例4、已知椭圆259

小?最小距离是多少?最大距离是多少？

变式：椭圆C的焦点分别为F1(-2，0)、F2(2，0)，椭圆E以C的焦点为焦点，且过直线x+y-9=0上的一点P，当椭圆E的长轴最短时，求椭圆E的方程.

题型五：面积相关

x2y2

1 过x轴上一定点H的直线l与椭圆2?2?1交于A、B两点，求S?AOB ab0

S?AOB?01OHy1?y2 2x2y2

2过y轴上一定点H的直线l与椭圆2?2?1交于A、B两点，求S?AOB baS?AOB?1OHx1?x2 2

30弦任意，点任意

S??

1弦长×点线距 2注：仍然蕴含“设而不求”思想。

x2y2xy??1相交于两点Ａ，例1直线??1与椭圆Ｂ，该椭圆上的点Ｐ使得?PAB的面积为43169

第4页

３，这样的点共有（）

A、１个 B、２个 C、３个 D、４个

x2y2

??1 的两个焦点为F1、F2，过左焦点作直线与椭圆交于A，B 两点，若△ABF2例2.椭圆4520

的面积为20，求直线的方程。

x223例3若直线l与椭圆C：y＝1交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为AOB32

面积的最大值．

题型六：探索性问题 x2y26例6：已知椭圆2?2=1(a＞b＞0)的离心率e=，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与3ab

坐标原点距离为3. （1）求椭圆的方程； 2

（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆相交于C、D两点，试判断是否存在k值，使以CD为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值，若不存在说明理由.

第5页

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