数学分析(2)期末试题

数学分析（2）期末试题

课程名称 数学分析（Ⅱ） 适 用 时 间 试卷类别 1 适用专业、年级、班 应用、信息专业

一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）

1、 下列级数中条件收敛的是（ ）．

n

nA．?(?1) B． C． n?1n?1??(?1)n D． ?2nn?1?1(1?) ?nn?1?n

2、 若f是(??,??)内以2?为周期的按段光滑的函数, 则f的傅里叶（Fourier）级数在

它的间断点x处 （ ）．

1A．收敛于f(x) B．收敛于(f(x?0)?f(x?0)) 2

C． 发散 D．可能收敛也可能发散

3、函数f(x)在[a,b]上可积的必要条件是（ ）．

A．有界 B．连续 C．单调 D．存在原

函数

4、设f(x)的一个原函数为lnx，则f?(x)?（ ）

11A． B．xlnx C． ?2 D． ex xx

??dx (k?0)收敛于1，则k?（ ） 5、已知反常积分?01?kx2

??2?2A． B． C． D． 2246、lnx?(lnx)2?(lnx)3??(?1)n?1(lnx)n?收敛，则（ ）

A． x?e B．x?e C． x 为任意实数 D． e?1?x?e

二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）

1、已知幂级数?anxn在x?2处条件收敛，则它的收敛半径为 ．

n?1?

2、若数项级数?un的第n个部分和Sn?

n?1?2n，则其通项un?，和S? n?1

3、曲线y?1与直线x?1，x?2及x轴所围成的曲边梯形面积为 x

1xxb

0a4、已知由定积分的换元积分法可得，?ef(e)dx??f(x)dx，则a? ，b? ．

n?5、数集?(?1)n n?1, 2 , 3, n?1?

2??的聚点为 ． ?6、函数f(x)?ex的麦克劳林（Maclaurin）展开式为．

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三、计算题（每小题6分，6×5＝30分）

1、?dx

x (1?x)． 2、?x2lnx dx．

x

3、? t dt

0dx (a?0)． 4、lim? 0cos2x?0sinx．

5、?dx．

四、解答题（第1小题6分，第2、3 小题各8分，共22分）

?

1、讨论函数项级数?sinnx

2在区间(??,??)上的一致收敛性． n?1n

??xn

2、求幂级数n的收敛域以及收敛区间内的和函数．

n?1

3、设f(x)?x, 将f在(??,?)上展为傅里叶（Fourier）级数．

五、证明题（每小题6分，6×2＝12分）

??

1、已知级数?an与?cn都收敛，且

n?1n?1

an?bn?cn, n?1, 2, 3，

?

证明：级数?bn也收敛．

n?1

2、证明：? ?

2sinnx dx?? ?

2

0 0cosnx dx．

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试题参考答案与评分标准

课程名称 数学分析(Ⅱ) 适 用 时 间 试卷类别 1 适用专业、年级、班 应用、信息专业

一、 单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）

⒈ B ⒉ B ⒊ A ⒋ C ⒌ D ⒍ D

二、 填空题（每小题3分，3×6＝18分）

⒈ 2 ⒉ un?2, S=2 ⒊ ln2 n(n?1)

⒋ a?1, b?e ⒌ ?1 ⒍

三、 计算题（每小题6分，6×5＝30分） 12nx, x?(??,??) ?n?0n!?

1. 解

111?? x(1?x)x1?x

1? ?（3分） x(1?x)

11??(?)dx x1?x

?lnx?ln?x?C.3分）

2. 解 由分部积分公式得

2x?lnxdx?13lnxdx ?3

11?x3lnx??x3dlnx（3分） 33

111?x3lnx??x3?dx 33x

11?x3lnx??x2dx 33

11?x3lnx?x3?C（3分） 39

?3. 解 令x?asint, t?[0, ] 2

由定积分的换元积分公式，得

?0

2 ??a?2

0cos2tdt （3分）

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a2

?2

2??20(1?cos2t)dt ?

2

0?

?a1(t?sin2t)22 ?a2

4.（3分）

4. 解 由洛必达(L＇Hospital)法则得

sinx

cos2x?lim（4分） x?0cosx

?limcosx x?0x?0 lim?x0cos2tdt

?12分）

5. 解

?（2分）

?

? ?2sinx?cosx 0

?

0???4(cosx?sinx)dx? ?2(sinx?cosx)dx（2分）

4

??

2

?(sinx?cosx)4

0?(sinx?cosx)?

4

?2.（2分）

四、 解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）

1. 解 ?x?(??, +?), ?n（正整数）

sinnx1（3分） ?22nn

?1而级数?2收敛，故由M判别法知，

n?1n

?sinnx在区间(??,??)上一致收敛． （3分） ?2nn?1

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