振动力学(高教版)部分课后习题答案
上传者：何洲平|上传时间：2015-04-24|密次下载
振动力学(高教版)部分课后习题答案
1.1 质量为m的质点由长度为l、质量为m1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。
图E1.1
解： 系统的动能为：
T
112
l 2 Ix m x22
其中I为杆关于铰点的转动惯量：
l mlm1
I 1dx x2 1x2dx 1l2
00l3 l
则有：
T
1221221 m1lx 3m m1 l2x 2 mlx266
系统的势能为：
U mgl 1 cosx m1g
l
1 cosx 2
111
mglx2 m1glx2 2m m1 glx2
244
nx和T U可得： 利用x
n
32m m1g
23m m1l
1.2 质量为m、半径为R的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a的A点系有两根弹性刚度系数为k的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。
内容需要下载文档才能查看
图E1.2
解：
如图，令 为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
内容需要下载文档才能查看
T
1 21 1 23 2 IB mR2 mR2 mR2 22 24 122
U 2 k R a k R a 2
2
和T U可得： 利用 n
4kR aR a4k
n 2
3mRR3m
2
1.3 转动惯量为J的圆盘由三段抗扭刚度分别为k1，k2和k3的轴约束，如图E1.3所示。求系统的
固有频率。
图E1.3
解： 系统的动能为：
T
1 2
J 2
k2和k3相当于串联，则有：
2 3 , k2 2 k3 3
以上两式联立可得：
k3k2
, 3 k2 k3k2 k3
2
系统的势能为：
1111 k k k k2k3 2
U k1 2 k2 22 k3 32 123
2222 k2 k3
和T U可得： 利用 n
n
k2k3 k1k2 k3
Jk2 k31.4 在图E1.4所示的系统中，已知ki i 1,2,3 , m, a 和 b，横杆质量不计。求固有频率。
内容需要下载文档才能查看
x
内容需要下载文档才能查看x2
F2
mga
内容需要下载文档才能查看b
图E1.4
答案图E1.4
解： 对m进行受力分析可得：
mg k3x3，即x3
如图可得：
x1
mg
k3
F1mgbFmga
, x2 2
k1a bk1k2a bk2
a x2 x1 a2k1 b2k2
x0 x1 x x1 mg 2
a ba bk1k2
a2k1 b2k21 1
x x0 x3 mg mg 2
kka bkk3 012
则等效弹簧刚度为：
2
a b k1k2k3
ke 2
22
ak1k3 bk2k3 a bk1k2
则固有频率为：
n
ke
m
k1k2k3a b 2
mk1k2a b k3k1a2 k2b2
2
1.7 质量m1在倾角为 的光滑斜面上从高h处滑下无反弹碰撞质量m2，如图E1.7所示。确定系
统由此产生的自由振动。
内容需要下载文档才能查看图E1.7
解：
内容需要下载文档才能查看
答案图E1.7
对m1由能量守恒可得（其中v1的方向为沿斜面向下）：
m1gh
1
m1v12，即v1 2gh 2
对整个系统由动量守恒可得：
m1v1 m1 m2 v0，即v0
令m2引起的静变形为x2，则有：
m1
2gh
m1 m2
m2gsin kx2，即x2
令m1+m2引起的静变形为x12，同理有：
x12
m2gsin
k
m1 m2 gsin
k
得：
x0 x12 x2
m1gsin
k
则系统的自由振动可表示为：
x x0cos nt
0x
n
sin nt
其中系统的固有频率为：
n
k
m1 m2
注意到v0与x方向相反，得系统的自由振动为：
x x0cos nt
v0
sin nt
n
1.9 质量为m、长为l的均质杆和弹簧k及阻尼器c构成振动系统，如图E1.9所示。以杆偏角 为广义坐标，建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。若在弹簧原长处立即释手，问杆的最大振幅是多少？发生在何时？最大角速度是多少？发生在何时？是否在过静平衡位置时？
l
内容需要下载文档才能查看c
图E1.9
解： 利用动量矩定理得：
答案图E1.9
k a a c l l， I
1
I ml2 3
内容需要下载文档才能查看
23ka 3cl 3ka 0， ml n
ml2
2
2
2
3cl23c12amk
， 2 1 c n
ml22m nl3
lmgl
k 0a a， 0
22ka2
1.12 面积为S、质量为m的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图E1.12所示。作用于
mg
薄板的阻尼力为Fd 2Sv，2S为薄板总面积，v为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为T0，在粘性流体中自由振动的周期为Td。求系数 。
图E1.12
解： 平面在液体中上下振动时：
2 Sx kx 0 m x
n
k2
，
mT0
d n 2
2 Td
2S22 S S2
2 n ，
kmm n
k 2S2
1
k
2
2 2 TdT0
k 2S22 m
d2 T02 kST0Td
2.1 一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图T 2-1所示。已知， 30 ，m = 1 kg，k
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