Case-Goble 法导论

Case Goble法导论 作者：G.G.Goble 第 1 页共 28页

Case Goble 法导论

Case-Goble Method Derivation

作者：G. G. Goble

[提示]以下的公式推导虽然没有十分严格的数学表述，但我们用“d”表示一个微小的时间增量和长度增量。这样“d”就是变化量“⊿ ”的意思，“dd”就表示“⊿d”的意思。“rho”就表示“ρ”的意思。 波速的推导和比例性描述同样不是十分严格的，它们是为了易于明白而用图表举例来说明波的传播过程。

我们所有的波动方程表达式的导出均假设杆是均质的（面积和弹性模量保持不变）一维线弹性杆（即杆的长度远远大于杆的直径）。有时候，在实际的桩基工程中我们可能会违反这些假设，然而，我们试图努力估计这样违反到底会产生多大的误差，并且误差达到多大才能够被我们接受。

1.波速的公式推导

假设一根一维弹性杆在一端突然受到一个力P的作用，此时的时间为t，则杆的其它部位的质点仍处于静止不动状态。

经过一个很短的时间间隔 dt 后，杆件的一个微小段受到压缩，我们假设这一微小段的长度为dL，因为这一受压的微小段是在dt时间内进行的，因此，我们称波速（压缩波）为：

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Case Goble法导论 作者：G.G.Goble 第 2 页共 28页 c=dL/dt (1.1)

由于受到压缩，质点A由位置A点运动到A’点，其位移为dd ，形变 dd可由杆件的横截面积A和弹性模量E，由下式求得：

dd=(PdL)/(EA) (1.2)

那么质点A的运动速度为：

dv=dd/dt (1,3-1)

因为 dd=(PdL)/(EA)

所以 dv=(PdL)/(EAdt) (1,3-2)

因为 c=dL/dt

所以 dv=(Pc)/(EA) （1,3-3）

质点A的加速度为：

a= dv/dt

或写成

a=(Pc)/(EAdt) (1,4)

根据牛顿第二定律有：

P=ma (1,5)

用a=(Pc)/(EAdt)和m=dLAρ代入上式得：

P= (dLAρ)((Pc)/(EAdt))

消去P,A及用c=dL/dt 代入上式,得

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Case Goble法导论 作者：G.G.Goble 第 3 页共 28页 c2=E/ρ (1,6)

因此我们得出波速c是物质的固有特性。

总结：

（1）“波速”是压缩或拉伸区沿杆件传播的速度。

(2)“质点速度”是质点在杆件中的运动速度。

[例题1]分别用“米”制、“英”制、“SI单位”制计算混凝土桩的波速、弹性模量、质量密度。

解（a）米制：E=400t/cm2

ρ=(2.4t/m3)/(9.8m/s2)

c=[400×9.8/(2.4×104)]1/2=4040m/s

（b）英制：E=5000ksi

ρ=(153 lb/ft3)/(32.2ft/s2)

c=[5000×32.2×144/(153×10-3)]1/2=12300ft/s （c）SI: E=40GPa

ρ=2400kg/m3

c=[40×109/(2.4×103)]1/2=4082m/s

2.阻抗定义(成比例关系)

我们再次假设弹性波在一均匀的弹性杆中传播的速度为c，如果杆前面受到一力P作用，我们注意到某一截面的质点速度为： 3

Case Goble法导论 作者：G.G.Goble 第 4 页共 28页 dv=dd/dt

dv=Pc/EA (力的形式)

dv=σc/E (应力的形式) （2，1）

dv=εc (应变的形式)

通常，我们用速度v代替速度的变化量dv，但我们必须记住，如果没有别的波沿着既定的方向传播，那么比例是恒定的，这比例（c/EA）的倒数为

Z=EA/c (2.2)

这就是我们通常所说的“阻抗”，该项（指“阻抗”）表示杆件阻碍速度变化的项，Zv项的单位通常为“力”的单位。请注意阻抗Z的下列各替换式的写法：

Z=EA/c

Z=ρc2 A/c

Z =ρc A (2,3)

Z =ρc A(L/L)

Z =ρAL c/L

Z=m c/L

[例题2]分别用三种单位制（即“米制”、“英制”、“SI单位制”）计算下列混凝土桩的阻抗值。

已知：截面尺寸：27.5×27.5cm2,波速及弹性模量、质量密度等与上例相同。（提示：对于英制，27.5cm=10.83英寸）

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Case Goble法导论 作者：G.G.Goble 第 5 页共 28页 解：（a）米制： E=400 t/cm2

A=27.52 =756 cm2

c=4040 m/s

Z=EA/c=74.9 t/m/s

（b）英制: E=5000 ksi

A=(27.5/2.54)2 =117 in2

c=12300 ft/s

Z=EA/C=47.7 kips/ft/s

（c）SI制:

Z=EA/c=(40×109×756×10-4)/4082=741 kN/m/s

3.波的动力学基础

上面的陈述能用较严格的数学方程式（根据虎克定律和牛顿定律）导出：

2?2uR2?u?c?..........(3,1)22??A?t?x

式中u是杆件在时间t和位置x的位移，它分别是加速度和应变的左行波或右行波的偏导数，这方程的一维波动方程的通解为： u=g(x+ct)+f(x-ct) (3,2)

该通解由两个典型的分量组成，即便g和f 分量。在时间t： 5