练习11数列(张文康)daan
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练习11数列(张文康)daan
已知等差数列{an}中,首项a1=1,公差d为整数,且满足a1+3<a3, a2+5> a4,数列{bn}满足bn
1= a an项和为Sn. nn+1
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若S2为S1,Sm (m∈N)的等比中项,求正整数m的值.
(3)对任意正整数k,将等差数列{an}中落入区间(2k,22k)内项的个数记为ck,求数列{cn}的前n项 和Tn
?a1?3?a1?2d,35解:(1)由题意,得?解得< d <. ……………………2分 22?a1?d?5?a1?3d,*
又d∈Z,∴d = 2.
an=1+(n-1)?2=2n-1. ………………………4分 ∴
bn?(2)∵11111??(?)………………………………..6分 an?an?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1
11n111111∴…………………7分 )?Sn?[(1?)?(?)?????(?)]?(1?22n?12n?123352n?12n?1
S1?∵12m?,S2?,Sm?,S2为S1,Sm (m?N)的等比中项, 352m?1
21m?2?2S2?SmS1,即????∴, 532m?1??
解得m=12. ……………………………………….9分
(3)对任意正整数k,2?2n?1?2,则2
?k2kk?1?11?n?22k?1?, 22而k?N,由题意可知 ck?22k?1?2k?1 , …………………………………12分 于是 Tn?c1?c2????????cn?(21?23????????22n?1)?(20?21????????2n?1) 2?22n?11?2n22n?1?222n?1?3?2n?1n????(2?1)?, 21?21?233
22n?1?3?2n?1即Tn?. ………………14分 3
2已知各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn,数列an的前n项和为Tn,且??
?Sn?2?
22?3Tn?4,n?N?. ?⑴证明:数列?an?是等比数列,并写出通项公式; ⑵若Sn??Tn?0对n?N恒成立,求?的最小值;
⑶若an,2xan?1,2yan?2成等差数列,求正整数x,y的值. 解:(1)当n=1时,a1?1;当n=2时,a2? 2
当n?3时,有?Sn?1?2??3Tn?1???Sn?2??3Tn??0 得: 22
??
化简得:Sn?1?Sn?4?3an?1?0 …………3分 又Sn?Sn-1?4?3an?0 ∴2an?1?an
∴?an?是1为首项,为公比的等比数列 2
an?,n?N? n?12………………6分
2nn????2141(2)Sn=4?1?,T?1??n?? ????????
Sn2∴???3?n6 ∴??3 ………………11分 n2?1
xy?2x,y?N? (3)若三项成等差,则有2?1?2??
y?2,右边为大于2的奇数,左边为偶数或1,不成立 ∴x?1,y?2 ………………16分
已知数列{an}中,a2?1,前n项和为Sn,且Sn?
(1)求a1; n(an?a1)。 2
(2)证明数列{an}为等差数列,并写出其通项公式;
(3)设lgbn?an?1,试问是否存在正整数p,q(其中1<p<q),使b1,bp,bq成等比数列?若存3n
在,求出所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由。 解:(1)令n=1,则a1=S1=
(2)由Sn?1(a1?a1)=0. …………………………2分 2①
②
③
④ n(an?a1)na,即Sn?n, (n?1)an?1. 得 Sn?1?②-①,得 (n?1)an?1?nan. 于是,nan?2?(n?1)an?1.
③+④,得nan?2?nan?2nan?1,即an?2?an?2an?1. ………………………6分
又a1=0,a2=1,a2-a1=1,
所以,数列{an}是以0为首项,1为公差的等差数列.
所以,an=n-1. ………………………………………………………………8分
(3)假设存在正整数数组(p,q),使b1,bp,bq成等比数列,则lgb1,lgbp,lgbq成等差数列, 于是,2p1q??. …………………………………………………………10分 3p33q
2p?)(☆). 3p3所以,q?3q(
易知(p,q)=(2,3)为方程(☆)的一组解. …………………………………………12分 当p≥3,且p∈N*时,
于是2(p?1)2p2?4p2p<0,故数列{}(p≥3)为递减数列, ??p?1pp?1p33332p13?1<0,所以此时方程(☆)无正整数解.……………………14分 ?≤2?
3p33
综上,存在唯一正整数数对(p,q)=(2,3),使b1,bp,bq成等比数列. ……………16分
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