练习11数列(张文康)daan

已知等差数列{an}中，首项a1＝1，公差d为整数，且满足a1+3<a3, a2+5> a4，数列{bn}满足bn

1= a an项和为Sn． nn+1

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若S2为S1，Sm (m∈N)的等比中项,求正整数m的值．

(3)对任意正整数k,将等差数列{an}中落入区间(2k,22k)内项的个数记为ck,求数列{cn}的前n项 和Tn

?a1?3?a1?2d,35解：（1）由题意，得?解得< d <． ……………………2分 22?a1?d?5?a1?3d,＊

又d∈Z，∴d = 2．

an=1+(n－1)?2=2n－1． ………………………4分 ∴

bn?（2）∵11111??(?)………………………………..6分 an?an?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1

11n111111∴…………………7分 )?Sn?[(1?)?(?)?????(?)]?(1?22n?12n?123352n?12n?1

S1?∵12m?，S2?，Sm?，S2为S1，Sm (m?N)的等比中项， 352m?1

21m?2?2S2?SmS1，即????∴， 532m?1??

解得m=12． ……………………………………….9分

(3)对任意正整数k，2?2n?1?2，则2

?k2kk?1?11?n?22k?1?, 22而k?N，由题意可知 ck?22k?1?2k?1 , …………………………………12分 于是 Tn?c1?c2????????cn?(21?23????????22n?1)?(20?21????????2n?1) 2?22n?11?2n22n?1?222n?1?3?2n?1n????(2?1)?， 21?21?233

22n?1?3?2n?1即Tn?. ………………14分 3

2已知各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，数列an的前n项和为Tn，且??

?Sn?2?

22?3Tn?4,n?N?. ?⑴证明：数列?an?是等比数列，并写出通项公式； ⑵若Sn??Tn?0对n?N恒成立，求?的最小值；

⑶若an,2xan?1,2yan?2成等差数列，求正整数x,y的值. 解：（1）当n=1时，a1?1；当n=2时，a2? 2

当n?3时，有?Sn?1?2??3Tn?1???Sn?2??3Tn??0 得： 22

??

化简得：Sn?1?Sn?4?3an?1?0 …………3分 又Sn?Sn-1?4?3an?0 ∴2an?1?an

∴?an?是1为首项，为公比的等比数列 2

an?,n?N? n?12………………6分

2nn????2141（2）Sn=4?1?,T?1??n?? ????????

Sn2∴???3?n6 ∴??3 ………………11分 n2?1

xy?2x,y?N? （3）若三项成等差，则有2?1?2??

y?2，右边为大于2的奇数，左边为偶数或1，不成立 ∴x?1,y?2 ………………16分

已知数列{an}中，a2?1，前n项和为Sn，且Sn?

（1）求a1； n(an?a1)。 2

（2）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；

（3）设lgbn?an?1，试问是否存在正整数p，q(其中1<p<q)，使b1，bp，bq成等比数列？若存3n

在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由。 解：(1)令n=1，则a1=S1=

(2)由Sn?1(a1?a1)=0． …………………………2分 2①

②

③

④ n(an?a1)na，即Sn?n， (n?1)an?1． 得 Sn?1?②－①，得 (n?1)an?1?nan． 于是，nan?2?(n?1)an?1．

③+④，得nan?2?nan?2nan?1，即an?2?an?2an?1． ………………………6分

又a1=0，a2=1，a2－a1=1，

所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列．

所以，an=n－1． ………………………………………………………………8分

(3)假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列， 于是，2p1q??． …………………………………………………………10分 3p33q

2p?)(☆)． 3p3所以，q?3q(

易知(p，q)=(2，3)为方程(☆)的一组解． …………………………………………12分 当p≥3，且p∈N*时，

于是2(p?1)2p2?4p2p<0，故数列{}(p≥3)为递减数列， ??p?1pp?1p33332p13?1<0，所以此时方程(☆)无正整数解．……………………14分 ?≤2?

3p33

综上，存在唯一正整数数对(p，q)=(2，3)，使b1，bp，bq成等比数列． ……………16分