中学数学教师招聘考试专业基础知识试卷(五)

考教师网 http://wendang.chazidian.com

中学数学教师招聘考试专业基础知识试卷（五）

一、选择题

( ) 1、设集合A?{x|1≤x≤2},B?{x|x≥a}.若A?B，则a的范围是 B

（A）a?1 （B）a≤1

4 （C）a?2 （D）a≤2 （ ）2、设i为虚数单位，则?1?i?展开式中的第三项为 D

（A）4i （B）?4i (C) 6 (D) ?6

x2y2

（ ）3、已知点A?0,b?，B为椭圆2+2=1?a?b?0?的左准线与x轴的交点，若线段AB的中点C在椭ab

圆上，则该椭圆的离心率为 C

?f?1??x?在同

（A） （B） （C） （D）

（ ）5、设m、n是不同的直线，?、?、?是不同的平面，有以下四个命题：

① 若?//?,?//?, 则?//? ②若???，m//?，则m??

③ 若m??,m//?，则??? ④若m//n,n??，则m//?

其中真命题的序号是 D

(A) ①④ (B) ②③ (C) ②④ (D) ①③

（ ）6、已知向量a?(1?sin ,1),b?(,1?sin ),且a//b，则锐角 等于 B

(A) 30? (B) 45? (C)60? (D) 75? 12

（ ）7．在等差数列{an}中，a1?1,a7?4，数列{bn}是等比数列，且b1?6,b2?a3，则满足bna26?1 的最小正整数n为 A

考教师网 http://wendang.chazidian.com

A．4 B．5 C．6 D．7

（ ）8．△ABC中，A?

A

．B?

C． 6sin(B??3,BC?3，则△ABC的周长为D ?)?3 B．

B?)?3 36?)?3 D． 6sin(B?)?3 36

xy?x?y?1?m有唯一的公共点，则实数m的取值集合中元素的个数为 （ ）9、 若双曲线y2- x2=1与2x?3x?2

A．2 B．4 C．5 D．6

（ ）10、已知函数f(x)???4?1的定义域是?a,b?(a,b?Z)，值域是?0,1?，那么满足条件的整数数对|x|?2

(a,b)共有C

（A）2个 （B）3个 （C） 5个 （D）无数个

二、填空题

x2y2

??1的一个焦点到一条渐近线的距离是 . 2 11、双曲线94

12、把函数?y?sin2x的图象按向量a=(?,0)平移得到的函数图象的解析式为 6

y?sin(2x?) . 3

13、已知函数???|x?1|f(x)??2?x?1(x≤0),(x?0), 那么不等式f(x)?0的解集为 (??,?1)(?1,1)2x2?114、lim2=. x?12x?x?13

515、在(x?)的展开式中，x的系数为?1320112

x

16、一个底面边长为2cm

积是 43π cm3．

17、观察下列式子：1?cm的正三棱锥，其顶点位于球心，底面三个顶点都在球面上，则该球的体131151117?,1???,1????,?，则可以猜想的结论为：222222234223234

23?12n?1?(n?N,n?2)___. 2nn

1?1?1?22

考教师网 http://wendang.chazidian.com

三、解答题

18、某城市有30﹪的家庭订阅了A报，有60﹪的家庭订阅了B报，有20﹪的家庭同时订阅了A报和B报，从该城市中任取4个家庭.

（Ⅰ）求这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报的概率；

（Ⅱ）求这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报的概率；

（Ⅲ）求这4个家庭中恰好有2个家庭A,B报都没有订阅的概率

18、解：（Ⅰ）设“这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报”的事件为A， 1分

3P(A)?C4(0.3)3(0.7)?0.0756 5分

答：这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报的概率为0.0756.

（Ⅱ）设“这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报”的事件为B， 6分

P(B)?1?(0.6)4?1?0.1296?0.8704 9分

答：这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报的概率为0.8704.

（III） 设“这4个家庭中恰好有2个家庭A,B报都没有订阅”的事件为C， 10分

因为有30﹪的家庭订阅了A报，有60﹪的家庭订阅了B报，

有20﹪的家庭同时订阅了A报和B报.所以两份报纸都没有订阅的家庭有30﹪.

2所以P(C)?C4?0.3?2?0.7?2?0.2646 14分

答：这4个家庭中恰好有2个家庭A,B报都没有订阅的概率为0.2646.

注：第三问若写出两份报纸都没有订阅的家庭有30﹪，后面计算有误，给到14分.

19、如图，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD是正方形，

SA?底面ABCD，SA?AB, 点M是SD的中点，

AN?SC，且交SC于点N .

（I） 求证： SB//平面ACM；

（II） 求二面角D?AC?M的大小；

（III）求证：平面SAC⊥平面AMN.

19、（Ⅰ）证明：连结BD交AC于E，连结ME. 1分

SNMBDABCD是正方形，∴ E是BD的中点. M是SD的中点，∴ME是?DSB的中位线.

∴ME//SB. 2分

又∵ME?平面ACM， SB?平面ACM， 3分

∴SB//平面ACM. 4分

（II）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系O?xyz， 5分

由SA?AB故设AB?AD?AS?1，则

11A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(1,0,0),S(0,0,1),M(,0,). 22

?SA?底面ABCD，

考教师网 http://wendang.chazidian.com

∴AS是平面ABCD的法向量，AS?(0,0,1)．

设平面ACM的法向量为n?(x,y,z),

11AC?(1,1,0),AM?(,0,), 7分 22

?x?y?0?0,??y??x,??n?AC?0,则? 即?1 ∴ ? 1z??x.x?0?z?0.????n?AM?0.?22

令x?1,则n?(1,?1,?1). 8分

∴cos?AS,n??AS?n, ??|AS|?

|n| 9分 ∴二面角D?AC?M的大小为（III）?11?AM??,0,?， CS???1,?1,1?， 10分 ?22?

11?AM?CS????0 22

?AM?CS 12分 又SC?AN且ANAM?A.

?SC?平面AMN. 又SC?平面SAC, ∴平面SAC⊥平面AMN. 14分

20、已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，?ABC的三个顶点都在抛物线上，且?ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线l的方程为4x?y?20?0.

（I）求抛物线S的方程；

（II）若O是坐标原点，P、Q是抛物线S上的两动点，且满足PO?OQ.试说明动直线PQ是否过一个定点. 解：(I) 设抛物线S的方程为y?2px. 1分

由?2?4x?y?20?0,2 可得2y?py?20p?0. 3分 2?y?2px,

由??0，有p?0，或p??160.

考教师网 http://wendang.chazidian.com

p, 2

yyy?y2p?x1?x2?(5?1)?(5?2)?10?1?10?. 5分 4448

x?x2?x3py1?y2?y3p?,?0， 设A(x3,y3)，由?ABC的重心为F(,0),则1

2323

11pp?x3??10,y3?. 6分 82设B(x1,y1),C(x2,y2),则y1?y2??11p?p?∵点A在抛物线S上，∴???2p(?10), ∴p?8. 7分 8?2?

∴抛物线S的方程为y2?16x. 8分 （II）当动直线PQ的斜率存在时，

设动直线PQ方程为y?kx?b，显然k?0,b?0. 9分 ∵PO?OQ，∴kOP?kOQ??1.

设P(xP,yP)Q(xQ,yQ) ∴2yPyQ???1, ∴xPxQ?yPyQ?0. 10分 xPxQ

16b. k2将y?kx?b代入抛物线方程，得ky?16y?16b?0,∴yPyQ?

从而xPxQ?yP2?yQ2

162b216bb2?0. ?2,∴2?kkk

∵k?0,b?0，∴b??16k,∴动直线方程为y?kx?16k?k(x?16)，

此时动直线PQ过定点(16,0). 12分 当PQ的斜率不存在时，显然PQ?x轴，又PO?OQ，∴POQ为等腰直角三角形. ?y2?16x,?y2?16x,由? ?得到P(16,16),Q(16,?16)，

?y?x,?y??x,

此时直线PQ亦过点(16,0). 13分 综上所述，动直线PQ过定点M(16,0). 14分

21、在数列{an}中，若a1,a2是正整数，且an?|an?1?an?2|,n?3,4,5,

，则称{an}为“绝对差数列”.