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数理统计方法3-3

上传者:陈宜辉
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上传时间:2015-04-26
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数理统计方法3-3

3.2.4 两个总体,方差未知但相等时,均值之差的置信区间

2问题 设总体 ?~N(?1,?12),?~N(?2,?2),其中?1,?2都未知,但已知

(X1,X2,?,Xm),(Y1,Y2,?,Yn)分别是?,? 的样本,两个样本相互独立,?1??2,

要求?1??2的置信水平为1??的置信区间。

分析推导

2因为 ?~N(?1,?12),?~N(?2,?2),而且?1??2,由2.5节的定理2.12可知,

这时有

(?)?(?1??2)

Sw11?mn~t(m?n?2) , 其中,, 是 ?,? 的样本均值,Sw?(m?1)Sx*2?(n?1)Sy*2

m?n?2,Sx* 是 ?,*2,Sy2

? 的修正样本方差。

对于给定的置信水平1??,从t分布的分位数表可以查到 t1??(m?n?2),使得

P{(?)?(?1??2)

Sw11?mn?t1??(m?n?2)}?1?? , 由于t分布的概率密度曲线关于x?0是左右对称的,所以

P{?t1??(m?n?2)?(?)?(?1??2)Sw11?mn?t1??(m?n?2)}?1?? , 即有

?1111?P???t1??Sw???1??2???t1??Sw???1?? 。

mnmn??

令 ???t1??Sw1111 按照定义,?, ???t1??Sw?,[,]

mnmn

就是?1??2的置信水平为1??的置信区间。

例4 对矿石中的含铁量,用方法A测量5次,测得样本均值?34.6,修正样本标准差Sx*?0.48;用方法B测量6次,测得样本均值?33.9,修正样本标准差

2),Sy*?0.25 ;设用这两种方法测得的含铁量分别为?~N(?1,?12) 和 ?~N(?2,?2

57

其中?1??2,求 ?1??2 的置信水平为 95% 的置信区间。

解 m?5,?34.6,Sx*?0.48,n?6,?33.9,Sy*?0.25,

Sw?(m?1)Sx*2?(n?1)Sy*2

m?n?2

(5?1)?0.482?(6?1)?0.252??0.3703。 5?6?2对 1??=0.95 , 1??=0.975,自由度m?n?2?9,查t分布的分位数表,可得

t1??(m?n?2)?t0.975(9)?2.2622 。

t1??(m?n?2)Sw1111??2.2622?0.3703???0.507, mn56

11??34.6?33.9?0.507?0.193, mn

11??34.6?33.9?0.507?1.207。 mn ???t1??Sw???t1??Sw,1.207] 。 所以?1??2 的水平为 95% 的置信区间为[0.193

3.2.5 两个总体,均值未知时,方差之比的置信区间

22问题 设总体 ?~N(?1,?1),?~N(?2,?2),其中?1,?2都未知,

(X1,X2,?,Xm) ,(Y1,Y2,?,Yn)分别是 ?,? 的样本,两个样本相互独立,要求

2 的水平为1??的置信区间。 ?122

分析推导

因为 ?~N(?1,?1),?~N(?2,?2),由2.5节的定理2.14可知,这时有 22

Sx*212~F(m?1,n?1) , 22Sy*2

其中Sx*是?的修正样本方差。 *2是?的修正样本方差,Sy

在书后的附录中,有一个F分布的分位数表,表中给出了当随机变量F服从自由度为2(k1,k2)的F分布,即F~F(k1,k2)时,使得式子 P{F?Fp(k1,k2)}?p 成立的分位数Fp(k1,k2)的数值。

58

Sx*212现在~F(m?1,n?1),对于给定的置信水平1??,查F分布的分位数表2Sy*22

并通过计算可得到 F?(m?1,n?1) 和 F1??(m?1,n?1) ,使得

Sx*212? , P{?F(m?1,n?1)}?222Sy*2

Sx*212? , P{?F(m?1,n?1)}?1?221??2Sy*2

Sx*212 即有 P{F?(m?1,n?1)??F1??(m?1,n?1)}?1?? , 22Sy*2

P{Sx*2Sy*2

F1??(m?1,n?1)2??122?Sx*2Sy*2F(m?1,n?1)}?1?? 。

令 ?Sx*2Sy*2

F1? ,?Sx*2Sy*2F?2 ,则有 P{ ??122?}?1??,按2照定义,[ ,] 就是 ?12 的水平为1??的置信区间。 2

2同时,由P{ ??122?}?1?? 可知P{??12?}?1?? ,所以,顺便还可推出,?12的置信水平为1??的置信区间为 [,] 。

怎样查表和计算求F分布的分位数

在书后附录中,有F分布的分位数表,从中可以查到F分布的分位数。查表时,

(1)在标明 p?1??2 的表中,在自由度 k1?m?1 与自由度 k2?n?1 的相交处,可以查到分位数F1??(m?1,n?1) ;

(2)分位数 F?(m?1,n?1) 不能直接从表中查到,要按下列方法求出:

先将自由度前后颠倒,变成(n?1,m?1),从表中查出 F1??(n?1,m?1),再对它

取倒数,即有 F?(m?1,n?1)?F1??1 。 (n?1,m?1)

为什么可以这样做?下面来证明一下。

证 前面2.4节中介绍F分布时,曾经证明过一个定理2.4,由此定理可知,F分布具有下列性质:当 F~F(m?1,n?1) 时,必有

所以有 1~F(n?1,m?1) 。 F

59

1??F1??(n?1,m?1)}?1? , F2

1??F1??(n?1,m?1)}? , 即 P{F2P{

即 P{F?F1??1?}? 。 (n?1,m?1)2

上式与 P{F?F(m?1,n?1)}??2 相比较,可见必有

F?(m?1,n?1)?F1??1 。 (n?1,m?1)

例5 对甲、乙两厂生产的电池作抽查,测得使用寿命(单位:小时)如下

内容需要下载文档才能查看

2设甲、乙两厂生产的电池,使用寿命分别为 ?~N(?1,?12) 和 ?~N(?2,?2),求:

2(1)?12的置信水平为 95% 的置信区间。 2

(2)?12的置信水平为 95% 的置信区间。

2Sx*21400解 m?4,Sx *?1400 ,n?5,Sy*?1107.5 ,??1.264 。21107.5Sy*2

对 1???0.95,?2?0.025,1??2?0.975,自由度(m?1,n?1)?(3,4) ,查F分布表,可得

F1??(m?1,n?1)?F0.975(3,4)?9.98,

F?(m?1,n?1)?F1??111???0.0662 。 (n?1,m?1)F0.975(4,3)15.1

?1.264?19.09 。 0.0662?Sx*2Sy*2

F1??Sx*2Sy*21.264??0.1267 ,?9.98F?2,19.09] 。 的水平为 95% 的置信区间为 [0.1267?122

又因为

?0.1267?0.356 ,?.09?4.369 ,

所以,?1

2 的水平为 95% 的置信区间为 [0.356,4.369] 。

60

作为总结,我们在表3.1中,列出了在各种情形下,求正态总体参数的置信区间的公式。其中大多数情形,我们在前面已经作了介绍,但还有几种情况,前面没有讲到。对于这些前面没有讲到过的情况,当我们需要求置信区间时,可以直接按照表中的公式进行计算。有兴趣的读者,可以根据前面2.5节中的定理,将表中我们未曾推导过的公式自行推导出来。

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( 其中 Sw?

(m?1)Sx*2?(n?1)Sy*2

m?n?2

)

61

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