数理统计方法3-3

3.2.4 两个总体，方差未知但相等时，均值之差的置信区间

2问题 设总体 ?～N(?1,?12)，?～N(?2,?2)，其中?1，?2都未知，但已知

（X1,X2,?,Xm），（Y1,Y2,?,Yn）分别是?，? 的样本，两个样本相互独立，?1??2，

要求?1??2的置信水平为1??的置信区间。

分析推导

2因为 ?～N(?1,?12)，?～N(?2,?2)，而且?1??2，由2.5节的定理2.12可知，

这时有

(?)?(?1??2)

Sw11?mn～t(m?n?2) ， 其中，, 是 ?,? 的样本均值，Sw?(m?1)Sx*2?(n?1)Sy*2

m?n?2，Sx* 是 ?，*2，Sy2

? 的修正样本方差。

对于给定的置信水平1??，从t分布的分位数表可以查到 t1??(m?n?2)，使得

P{(?)?(?1??2)

Sw11?mn?t1??(m?n?2)}?1?? ， 由于t分布的概率密度曲线关于x?0是左右对称的，所以

P{?t1??(m?n?2)?(?)?(?1??2)Sw11?mn?t1??(m?n?2)}?1?? ， 即有

?1111?P???t1??Sw???1??2???t1??Sw???1?? 。

mnmn??

令 ???t1??Sw1111 按照定义，?， ???t1??Sw?，[,]

mnmn

就是?1??2的置信水平为1??的置信区间。

例4 对矿石中的含铁量，用方法A测量5次，测得样本均值?34.6，修正样本标准差Sx*?0.48；用方法B测量6次，测得样本均值?33.9，修正样本标准差

2)，Sy*?0.25 ；设用这两种方法测得的含铁量分别为?～N(?1,?12) 和 ?～N(?2,?2

５７

其中?1??2，求 ?1??2 的置信水平为 95％ 的置信区间。

解 m?5，?34.6，Sx*?0.48，n?6，?33.9，Sy*?0.25，

Sw?(m?1)Sx*2?(n?1)Sy*2

m?n?2

(5?1)?0.482?(6?1)?0.252??0.3703。 5?6?2对 1??=0.95 , 1??=0.975，自由度m?n?2?9，查t分布的分位数表，可得

t1??(m?n?2)?t0.975(9)?2.2622 。

t1??(m?n?2)Sw1111??2.2622?0.3703???0.507， mn56

11??34.6?33.9?0.507?0.193， mn

11??34.6?33.9?0.507?1.207。 mn ???t1??Sw???t1??Sw,1.207] 。 所以?1??2 的水平为 95％ 的置信区间为[0.193

3.2.5 两个总体，均值未知时，方差之比的置信区间

22问题 设总体 ?～N(?1,?1)，?～N(?2,?2)，其中?1，?2都未知，

（X1,X2,?,Xm） ，（Y1,Y2,?,Yn）分别是 ?，? 的样本，两个样本相互独立，要求

2 的水平为1??的置信区间。 ?122

分析推导

因为 ?～N(?1,?1)，?～N(?2,?2)，由2.5节的定理2.14可知，这时有 22

Sx*212～F(m?1,n?1) ， 22Sy*2

其中Sx*是?的修正样本方差。 *2是?的修正样本方差，Sy

在书后的附录中，有一个F分布的分位数表，表中给出了当随机变量F服从自由度为2(k1,k2)的F分布，即F～F(k1,k2)时，使得式子 P{F?Fp(k1,k2)}?p 成立的分位数Fp(k1,k2)的数值。

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Sx*212现在～F(m?1,n?1)，对于给定的置信水平1??，查F分布的分位数表2Sy*22

并通过计算可得到 F?(m?1,n?1) 和 F1??(m?1,n?1) ，使得

Sx*212? ， P{?F(m?1,n?1)}?222Sy*2

Sx*212? ， P{?F(m?1,n?1)}?1?221??2Sy*2

Sx*212 即有 P{F?(m?1,n?1)??F1??(m?1,n?1)}?1?? ， 22Sy*2

P{Sx*2Sy*2

F1??(m?1,n?1)2??122?Sx*2Sy*2F(m?1,n?1)}?1?? 。

令 ?Sx*2Sy*2

F1? ，?Sx*2Sy*2F?2 ，则有 P{ ??122?}?1??，按2照定义，[ ,] 就是 ?12 的水平为1??的置信区间。 2

2同时，由P{ ??122?}?1?? 可知P{??12?}?1?? ，所以，顺便还可推出，?12的置信水平为1??的置信区间为 [,] 。

怎样查表和计算求F分布的分位数

在书后附录中，有F分布的分位数表，从中可以查到F分布的分位数。查表时，

（1）在标明 p?1??2 的表中,在自由度 k1?m?1 与自由度 k2?n?1 的相交处，可以查到分位数F1??(m?1,n?1) ；

（2）分位数 F?(m?1,n?1) 不能直接从表中查到，要按下列方法求出：

先将自由度前后颠倒，变成(n?1,m?1)，从表中查出 F1??(n?1,m?1)，再对它

取倒数，即有 F?(m?1,n?1)?F1??1 。 (n?1,m?1)

为什么可以这样做？下面来证明一下。

证 前面2.4节中介绍F分布时，曾经证明过一个定理2.4，由此定理可知，F分布具有下列性质：当 F～F(m?1,n?1) 时，必有

所以有 1～F(n?1,m?1) 。 F

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1??F1??(n?1,m?1)}?1? ， F2

1??F1??(n?1,m?1)}? ， 即 P{F2P{

即 P{F?F1??1?}? 。 (n?1,m?1)2

上式与 P{F?F(m?1,n?1)}??2 相比较，可见必有

F?(m?1,n?1)?F1??1 。 (n?1,m?1)

例5 对甲、乙两厂生产的电池作抽查，测得使用寿命（单位：小时）如下

2设甲、乙两厂生产的电池，使用寿命分别为 ?～N(?1,?12) 和 ?～N(?2,?2)，求:

2(1)?12的置信水平为 95％ 的置信区间。 2

(2)?12的置信水平为 95％ 的置信区间。

2Sx*21400解 m?4，Sx *?1400 ，n?5，Sy*?1107.5 ，??1.264 。21107.5Sy*2

对 1???0.95，?2?0.025，1??2?0.975，自由度(m?1,n?1)?(3,4) ，查F分布表，可得

F1??(m?1,n?1)?F0.975(3,4)?9.98，

F?(m?1,n?1)?F1??111???0.0662 。 (n?1,m?1)F0.975(4,3)15.1

?1.264?19.09 。 0.0662?Sx*2Sy*2

F1??Sx*2Sy*21.264??0.1267 ，?9.98F?2,19.09] 。 的水平为 95% 的置信区间为 [0.1267?122

又因为

?0.1267?0.356 ，?.09?4.369 ，

所以，?1

2 的水平为 95％ 的置信区间为 [0.356,4.369] 。

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作为总结，我们在表3.1中，列出了在各种情形下，求正态总体参数的置信区间的公式。其中大多数情形，我们在前面已经作了介绍，但还有几种情况，前面没有讲到。对于这些前面没有讲到过的情况，当我们需要求置信区间时，可以直接按照表中的公式进行计算。有兴趣的读者，可以根据前面2.5节中的定理，将表中我们未曾推导过的公式自行推导出来。

( 其中 Sw?

(m?1)Sx*2?(n?1)Sy*2

m?n?2

)

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