数理统计方法1-2

§1.5 多维随机变量

1.5.1 多维随机变量的联合分布和边缘分布

在一个问题中，可能会同时出现多个随机变量。同时出现的多个随机变量，称为多维随机变量，记为(?1,?2,?,?n)。

定义1.4 设(?1,?2,?,?n)是n维随机变量，称

P{?1?x1,?2?x2,?,?n?xn}

为(?1,?2,?,?n)的联合概率分布，

F(x1,x2,?,xn)?P{?1?x1,?2?x2,?,?n?xn}

为(?1,?2,?,?n)的联合分布函数,

?n

?(x1,x2,?,xn)?F(x1,x2,?,xn) ?x1?x2??xn

为(?1,?2,?,?n)的联合概率密度。

各个随机变量各自的概率分布P{?i?xi}，分布函数F?i(xi)?P{?i?xi}和概率密度??(xi)?idF?i(xi)，分别称为边缘概率分布，边缘分布函数和边缘概率密度。 dxi

如果随机变量?1,?2,?,?n相互独立，则有

P{?1?x1,?2?x2,?,?1?x1}?P{?1?x1}P{?2?x2}?P{?n?xn} ,

F(x1,x2,?,xn)?F?1(x1)F?2(x2)?F?n(xn),

?(x1,x2,?,xn)???(x1)??(x2)???(xn)。 12n

1.5.2 最大值和最小值的分布函数

设?1,?2,?,?n相互独立，边缘分布函数分别为F1(x),F2(x),?,Fn(x)，则它们的最大值max(?1,?2,?,?n)的分布函数

Fmax(x)?P{max(?1,?2,?,?n)?x}?P{?1?x,?2?x,?,?n?x}

?P{?1?x}P{?2?x}?P{?n?x}?F1(x)F2(x)?Fn(x) ； １０

它们的最小值min(?1,?2,?,?n)的分布函数

Fmin(x)?P{min(?1,?2,?,?n)?x}?1?P{min(?1,?2,?,?n)?x}

?1?P{?1?x,?2?x,?,?n?x}?1?P{?1?x}P{?2?x}?P{?n?x}

?1?[1?P{?1?x}][1?P{?2?x}]?[1?P{?n?x}]

?1?[1?F1(x)][1?F2(x)]?[1?Fn(x)] 。

特别，如果?1,?2,?,?n相互独立，分布函数相同，都是F(x)，则有

nFmax(x)?P{max(?1,?2,?,?n)?x}??F(x)?，

nFmin(x)?P{min(?1,?2,?,?n)?x}?1??1?F(x)? 。

§1.6 随机变量的数字特征

在实际问题中，我们往往希望用一、两个简单的数字，将一个随机变量的分布的主要特征表达出来，这种能将随机变量的分布的主要特征表达出来的数字，称为数字特征。

下面介绍一些常用的数字特征。

1.6.1 数学期望（Expectation，均值）

定义1.5 随机变量?的数学期望记为E?。若?是一个离散型随机变量，概率分布为P{??xk}，k?1,2,?,r，则E?=?xkP{??xk}。若?是一个连续型随机变量，概率

k?1r

密度为?(x)，则E?=???

??x?(x)dx。

例1 设?～P(?)，概率分布为P{??k}?

??kk!e??，k?0,1,2,?，求E?。

解 E???kP{??k}??kk!e

k?0??k???0??e????21!e????3

2!e????

k?0

??e(1????

1!??2

2!??)??e??e??? 。

例2 设?～N(?,?)，?的概率密度为?(x)?21

??e?(x??)2

2?2 ，求E? 。

１１

解 E??

令?????x?(x)dx??x????12??e?(x??)22?dx， x??

??t，可得

E???2?

2?1????(?t??)e?t22?t22dt ???t2

2????

??tedt??2????edt?0????。

下面不加证明地给出数学期望的一些性质。

性质1 设?是随机变量，a,b是常数，则E(a??b)?aE??b。

性质2 设?,?是两个随机变量，则E(???)?E??E?。

性质3 设?,?是两个相互独立的随机变量，则E(??)?E?E?。

1.6.2 随机变量函数f(?)的数学期望Ef(?)，m阶矩（Moment）

定义1.6 若?是一个离散型随机变量，概率分布为P{??xk}，k?1,2,?,r，则Ef(?)=?f(xk)P{??xk}。若?是一个连续型随机变量，概率密度为?(x)，则

k?1r

Ef(?)=?f(x)?(x)dx。 ????

特别，称E(?)为随机变量?的m阶（原点）矩。若?是一个离散型随机变量，概率分布为P{??xk}，k?1,2,?,r，则E(?)=

变量，概率密度为?(x)，则E(?)=mmm?xk?1rmkP{??xk}。若?是一个连续型随机???

??xm?(x)dx。

k1?km，k?0,1，求E(?)。 例3 设?～b(1,p)，概率分布为P{??k}?p(1?p)

解 E(?)?m?k

k?01mP{??k}??kmpk(1?p)1?k k?01

?0mp0(1?p)1?0?1mp1(1?p)1?1?0?p?p 。

1.6.3 方差(Variance)和标准差（Standard Deviation）

１２

定义1.7 随机变量?的方差记为D?（或Var?）。若?是一个离散型随机变量，概率分布为P{??xk}，k?1,2,?,r，则D?=随机变量，概率密度为?(x)，则D?=

称???

?(x

k?1

r

k

?E?)2P{??xk}。若?是一个连续型

?

??

??

(x?E?)2?(x)dx。

。 D?为?的标准差（或均方差，或根方差）

例4 设?～N(?,?2)，求D?和D? 。 解 前面例2中已求得E???，所以 D?=

?

??

??

(x?E?)2?(x)dx

??

??(x??)2?(x)dx??(x??)2

??

??

??

12??

e

?

(x??)22?2

dx，

令

x??

?

?t，可得

?2 D??

2??

?

??

??

t2e

?

t22

?2

dt??

2??

?

??

??

tde

t22

?

t22

?

2

2?

te

t2?2

?

??

?

2

2?

?

???

??

e

dt?0??2??2 ，

D??2?? 。

下面不加证明地给出方差的一些性质。

性质1 设?是随机变量，则D??E(?)?(E?)。

性质2 设?是随机变量，a,b是常数，则D(a??b)?aD?。

性质3 设?,?是两个相互独立的随机变量，则D(???)?D??D?。 例5 设?为同时扔2个硬币时，出现正面向上的硬币个数，?的概率分布为

2

2

2

P{??0}?4，P{??1}?2，P{??2}?4。

求E?，E(?)，D? 和D?。 解 E??

2

?kP{??k}?0?

k?0

2

111

?1??2??1 ， 424

１３

E(?)?

2

?k

k?0

2

2

P{??k}?02?

12113?1??22?? ， 4242

D??E(?2)?(E?)2? D??

321?1? ， 22

12

。 ?

22

a?x?b其他

，求E?，E(?2)，

?1

?

例6 设?～U(a,b)，概率密度为 ?(x)??b?a

??0D? 和D。

解 E??

?

??

??

x?(x)dx??

2

b

a

112x

?xdx?

b?a2b?a

b

?

a

a?b

， 2

E(?)??x?(x)dx??

??

2

??b

a

x2113

dx??xb?ab?a3

b

a2

b2?ab?a2

， ?

3

(b?a)2b2?ab?a2?a?b?22

D??E??(E?)? ， ????

123?2?

(b?a)2b?a

。 D??

1223

例7 设?～N(?1,?1)，?～N(?2,?2)，?,?相互独立，a,b,c是常数，求

2

2

a??b??c的分布。

解 因为?,?相互独立，都服从正态分布，a??b??c是?,?的线性组合，所以

a??b??c也服从正态分布。而且有

E(a??b??c)?aE??bE??c?a?1?b?2?c，

2

。 D(a??b??c)?a2D??b2D??a2?12?b2?2

所以，

2

a??b??c～N(a?1?b?2?c,a2?12?b2?2) 。

例8 证明：对任何常数a，有 E[(??a)]?D??(E??a)。

１４

2

2