数理统计方法4-4

§4.4 正态分布的概率纸检验

在实际问题中，常常要检验总体是否服从正态分布，当然，可以用前一节介绍的?2检验法来做总体是否服从正态分布的检验。但是，如果不用计算机，用手工计算，要完成这样的检验，计算工作量非常大，还需要查找位数比较多，比较精确的N(0,1)分布表（这样的表很难找到），总之是十分困难的。而且，检验的结果也不能用图像直观地表示出来。 下面介绍的正态分布的概率纸检验，是一种比较简单又比较直观的检验方法。 问题 设（x1,x2,?,xn）是总体 ? 的样本观测值，要检验 H0：?～N(?,?2)，其中，参数?，?都未知。

分析推导

前面2.2节介绍过一种非参数估计方法，即用经验分布函数Fn(x)来估计总体?的分布函数F(x)。当 n充分大时，经验分布函数Fn(x)是总体分布函数F(x)的良好近似。 经验分布函数Fn(x)是一个阶梯函数，正态分布的分布函数F(x)图像是一条连续曲线。概率纸检验的想法是：同时作出Fn(x)和F(x)的图像，如果两者很接近，就接受假设H0，如果两者相差很大，就拒绝H0。但是，由于F(x)的图像是一条连续曲线，Fn(x)与F(x)的图像是否符合，很难看清楚，所以，进一步的想法是：通过函数变换，把曲线变成直线，把阶梯函数变成一串点子，把问题变成看一串点子是不是在一条直线上，这样就很容易看清楚了。

正态分布的分布函数

????x????x???F(x)?P{??x}?P?????? 。 ????????

其中，?(x)是N(0,1)标准正态分布的分布函数，取它的反函数

??x????x??y???1(F(x))???1?????????? ， ????

就把F(x)变成了一条直线 y?x??

?，这条直线的斜率为1

?，直线与x轴的交点坐标为

(?,0)。

由经验分布函数的定义可知，如果将样本观测值x1,x2,?,xn按从小到大的次序排列成

x(1)?x(2)???x(n) ，

８７

则有

当x?x(1)?0??i当x(i)?x?x(i?1),i?1,2,?,n?1 ， Fn(x)???n当x?x(n)??1

在x(i)点的左侧邻域，Fn(x)?i?1i，在x(i)点的右侧邻域，Fn(x)?，为了把Fn(x)变nn

成一串点子，在x(i)点处，令 Fn(x(i))?i?n

?1，对它也取?(x)的反函数，令： i?n) ，i?1,2,?。 y(i)??(Fn(x(i)))??(?1

以（x(i),y(i)）为坐标，作一串点子，这就是变换以后的代表经验分布函数Fn(x)的点子。 如果这一串点子近似在一条直线上，就接受H0：?～N(?,?)，而且可以认为这条直线的方程就是y?2x??

??，从这条直线与x轴，从这条直线的斜率，可以求出?的估计?

?。如果这一串点子明显地不在一条直线上，就拒绝H0。 的交点，可以求出?的估计?

在上面介绍的检验法中，关键的一步是求?(x)的反函数，在没有计算机的年代，这是很难求的。为此，人们发明了一种“正态概率纸”，在x轴方向，刻度是等间距的，在y轴方向，刻度是不等间距的，中间密，两头疏。按照“正态概率纸”上的刻度，画坐标为（x(i),i?n）的点子，实际得到的是坐标为（x,??1((i)i?n)）的点子。

现在，外面已经很难买到现成的“正态概率纸”，但是，我们可以利用计算机软件，画出正态概率纸上的点子，完成正态分布的概率纸检验。

正态分布的概率纸检验，它的优点是简单、直观，但是，它也有缺点：检验全凭主观感觉，看点子是否在一直线上，缺少客观的标准。

下面看一个例子。

例1 从某小学五年级男生中抽取72人，测量身高，得到数据（单位：cm）如下：

128.1,144.4,150.3,146.2,140.6,139.7,134.1,124.3,147.9,143.0,143.1,142.7, 126.0,125.6,127.7,154.4,142.7,141.2,133.4,131.0,125.4,130.3,146.3,146.8, 142.7,137.6,136.9,122.7,131.8,147.7,135.8,134.8,139.1,139.0,132.3,134.7, 150.4,142.7,144.3,136.4,134.5,132.3,152.7,148.1,139.6,138.9,136.1,135.9, 142.2,152.1,142.4,142.7,136.2,135.0,154.3,147.9,141.3,143.8,138.1,139.7, 127.4,146.0,155.8,141.2,146.4,139.4,140.8,127.7,150.7,160.3,148.5,147.5, 要求检验学生身高是否服从正态分布N(?,?)。

采用正态分布的概率纸检验，画出的图像见图4-2。

2８８

从图4-2可以看出，点子几乎落在一直线上，所以，可以认为学生身高服从正态分布

??8.293。 ??140.133，?N(?,?2)。而且还可以估计出?

如果已知的不是具体的样本观测值，而是落在各个区间中的频数，也可以作正态分布的概率纸检验。

作分点 a?a0?a1?a2?...?ar?b，将总体 ? 的取值范围 (a,b) 分成 r 个区间。设共进行了n次试验，落在区间 (ak?1,ak] 中的频数（样本观测值的个数）为 nk ，

1k

k?1,2,?,r。这时，在ak点的左侧邻域，Fn(x)??ni，在ak点的右侧邻域，ni?1

n1k1k?1

Fn(x)??ni，所以，在ak处，令Fn(ak)??ni?k?1，k?1,2,?,r?1。作正ni?12nni?1

k?nk?1???1?1态分布的概率纸检验时，只需要作一串坐标为? ?ak,??n?ni?2n???的点子就可以了。

?i?1???

§4.5 独立性的检验

在概率论中，我们介绍过随机变量的独立性的概念。在某些特殊的情况下，可以很方便地直接判断出两个随机变量是否相互独立；但是，在更多的实际问题中，两个随机变量是否相互独立，往往就不那么容易判断了。例如，癌症是否与遗传有关？色盲是否与性别有关？ ８９

气管炎是否与吸烟有关？儿童智商是否与营养状况有关？股市的涨落是否与物价的高低有关？显然，这些都不是一眼就能看出来的。

下面，我们介绍一种可以用来检验随机变量的独立性的检验方法，它也是一种非参数检验。

问题 设有两个总是同时出现的随机变量 ? 和 ? 。? 可能处于 r 种不同的状态：

A1,A2,?,Ar ，? 可能处于 s 种不同的状态：B1,B2,?,Bs 。

现在共进行了n次观测，在这n次观测中，出现状态组合 (Ai,Bj) 的频数为 nij，

i?1,2,?,r， j?1,2,?,s 。即有

其中，

r

ni???nij ，i?1,2,?,r ，n?j??nij，j?1,2,?,s ，

j?1

i?1

s

n??ni???n?j???nij。

i?1

j?1

i?1j?1

rsrs

这样一个表，称为联立表（或列联表） 。 要检验 H0：? 与 ? 独立这一假设是否成立。 分析推导

如果 H0 为真，? 与 ? 独立，显然应该有

P{??Ai,??Bj}?P{??Ai}P{??Bj} ，

因为 P{??Ai,??Bj}≈

nijn

, P{??Ai}≈

ni?n

, P{??Bj}≈

n?jn

, 所以有

nijn

≈

ni?n?jn

n

， 即有 nij ≈

ni?n?j

n

；

反之，如果 H0 不真，? 与 ? 不独立，则 nij 与

ni?n?j

n

的差别就会很大。

９０

可以证明，若 H0 为真，则当 ? 的样本观测次数 n?? 时，有

?2???

i?1j?1

rs

(nij?

ni?n?j

n

)2

～?2((r?1)(s?1)) ；

ni?n?j

若H0不真，则?2的值会偏大，统计量?2的分布，相对于?2((r?1)(s?1))分布来说，峰值位置会有一个向右的偏移。

因此可得到检验方法如下：

从样本求出?2的值。对于给定的显著水平?，自由度(r?1)(s?1)，查 ?2分布的

2

分位数表，可得分位数?1)(s?1))，使得P{?2??12??((r?1)(s?1))}?? ，??((r?12当 ?2??1)(s?1)) 时拒绝 H0 ，否则接受 H0 。 ??((r?1

注意

（1）查 ?2 分布表求分位数时，在自由度 k?(r?1)(s?1) 与 p?1?? 相交

2处查得 ?1)(s?1)) ； ??((r?1

r

s

（2）计算

?2 时，可以用简化公式 ??n(??

2

i?1j?1

nij

2

ni?n?j

?1) 。为什么可以这

样简化？下面证明一下。

证 ??

2

??

i?1j?1

rs

(nij?

ni?n?j

n

)2

ni?n?j

???

i?1j?1

rs

ni2j?2nij

ni?n?jni?n?j

n

s

?

ni?n?j

2

22

?n??

i?1

rs

ni2j

j?1ni?n?j

?2??nij?

i?1j?1

rs

?n?n

i?i?1

j?1

r

?j

n

2

?n??

i?1j?1

rs

ni2jni?n?j

rsnijn2

?2n??n(???1) 。

ni?1j?1ni?n?j

９１