数理统计方法4-2

4.2.4 两个总体，方差未知但相等时，均值是否相等的检验

2问题 设总体 ?～N(?1,?12)，?～N(?2,?2)，其中 ?1，?2 都未知，但已知

（X1,X2,?,Xm） ，（Y1,Y2,?,Yn）分别是 ?，? 的样本，两个样本相互独?1??2，

立，要检验H0：?1?

分析推导

2因为 ?～N(?1,?12)，?～N(?2,?2)，而且?1??2，由2.5节的定理2.12可知，?2 。

这时有

(?)?(?1??2)

Sw11?mn～t(m?n?2) ， 其中，,是?,?的样本均值，Sw?

的修正样本方差 。

取一个统计量 T?(m?1)Sx*2?(n?1)Sy*2m?n?2(?)?(?1??2)

Sw11?mn， Sx* 是?,?*2，Sy2?Sw11?mn???1??2Sw11?mn 。

若H0：?1??2为真，则 ?1??2

Sw11?mn?0 ，显然有

T?Sw

若H0：?11?mn?(?)?(?1??2)Sw11?mn～t(m?n?2) 。 ?1??2不真，则?1??2

Sw11?mn?0，即T这个随机变量，等于一个服从

t(m?n?2)分布的随机变量，再加上一个不等于0的项，所以，这时统计量T的分布，相对于t(m?n?2)分布来说，峰值位置会有一个向左或向右的偏移。

因此可得到检验方法如下： 从样本求出统计量T??Sw11?mn的值。对于给定的显著水平?，查书后附录中t分

７４

布的分位数表，可求得分位数t1??(m?n?2)，使得P{T?t1??(m?n?2)}?1?，

即使得 P{T?t1?(m?n?2)}?? 。将统计量T的值与分位数作比较，当

T?t1??(m?n?2) 时拒绝H0 ，否则接受 H0 。

2 例4 设某种针织品在80?C和70?C时的强度为?～N(?1,?12)和?～N(?2,?2假)，

设已知有?1??2。在80?C时，抽取5个样品，测得样本均值 ?19.6 ，修正样本标准差 Sx*?0.42 ；在70?C时，抽取6个样品，测得样本均值 ?20.3 ，修正样本标准差 Sy*?0.30 。问这种针织品在80?C和70?C时的平均强度是否相同？（显著水平??0.05）

解 问题相当于要求检验H0：?1??2 。

m?5，?19.6 ，Sx*?0.42，n?6，?20.3 ，Sy*?0.30， Sw?(m?1)Sx*2?(n?1)Sy*2

m?n?2

T?

Sw?11?mn(5?1)?0.422?(6?1)?0.302??0.35833 ， 5?6?2?19.6?20.30.35833?11?56

??3.226 。 对??0.05，查 t 分布的分位数表，可得 t1??(m?n?2)?t0.975(9)?2.2622,由

于 T??3.226?3.226?2.2622，因此拒绝H0：?1??2 。这种针织品在80?C和70?C时的平均强度不能认为是相同的。

4.2.5 两个总体，均值未知时，方差是否相等的检验 在求解上面的问题时，我们假设已知有 ?1??2，到底是不是这样，最好还要检验一下。

22 问题 设总体 ?～N(?1,?1)，?～N(?2,?2)，其中?1，?2都未知，

（X1,X2,?,Xm） ，（Y1,Y2,?,Yn）分别是 ?，? 的样本，两个样本相互独立，要检验 H0：?1??2（ 或 ?1??2 ） 。

分析推导

因为 ?～N(?1,?1)，?～N(?2,?2)，由2.5节的定理2.14可知，这时有 ７５ 2222

Sx*212～F(m?1,n?1) ， 2Sy*22

其中Sx*2是?的修正样本方差。 *2是?的修正样本方差，Sy

Sx*2Sx*212?12? 取一个统计量 F??2 。 222Sy*Sy*2?2

?12若H0：??? 为真，则 2?1 ，这时有 ?22122

Sx*2Sx*212F??～F(m?1,n?1) 。 222Sy*Sy*2

?12 若H0：??? 不真，则2?1 ，即F等于一个服从F(m?1,n?1)分布的随机?22122

变量，再乘以一个不等于1的项，所以，这时统计量F的分布，相对于F(m?1,n?1)分布来说，峰值位置会有一个向左或向右的偏移。

因此可得到检验方法如下：

Sx*2

从样本求出F?的值。对于给定的显著水平?，查F分布的分位数表，可得分Sy*2

位数F?(m?1,n?1)和F1??(m?1,n?1)，使得P{F?F?(m?1,n?1)}??2 以及

P{F?F1??(m?1,n?1)}??2，当 F?F?(m?1,n?1) 或F?F1??(m?1,n?1)时

拒绝H0 ，否则接受 H0 。

例5 设某种针织品在80?C和70?C时的强度为?～N(?1,?1)和?～N(?2,?2)。在80?C时，抽取5个样品，测得修正样本标准差 Sx*?0.42 ；在70?C时，抽取6个样品，测得修正样本标准差 Sy*?0.30 。要求检验 H0：?1??2 。（显著水平??0.05） 22

Sx*20.422

解 F???1.96 。 Sy*20.302

对??0.05，查F分布的分位数表，可得 F1??(m?1,n?1)?F0.975(4,5)?7.39 ，

F?(m?1,n?1)?F1??111???0.1068 。 (n?1,m?1)F0.975(5,4)9.36

７６

因为 0.1068?F?1.96?7.39 ，所以接受 H0：?1??2 ，可以认为在80?C和70?C时针织品强度的方差相等。

4.2.6 单侧检验

前面介绍的检验，都是双侧检验。也就是说，要检验的原假设H0是一个等式 ，备选假设H1 是与H0相反的不等式。作检验时，接受域W0在中间，拒绝域W1在两侧，检验统计量落在中间就接受H0 ，落在两边就拒绝H0 。但是，这样的检验，对有些实际问题并不适用，例如：

设某厂生产的灯泡寿命 ?～N(?,?2)，现从中抽取20只测试寿命，测得样本均值 ?1960（小时），修正样本标准差 S*?200（小时），问：能否认为灯泡的平均寿命已达到2000小时？

在这个问题中，如果将原假设定为H0：??2000 ，备选假设定为H1：??2000，也就是说，只有当?等于2000才接受，当?大于2000或小于2000都要拒绝，这样做，显然是不符合实际的，灯泡寿命越长越好，为什么大于2000反而要拒绝呢？

正确的做法应该是，将原假设定为H0：??2000 ，备选假设定为H1：??2000 。只有当?小于2000时才拒绝，当?大于2000或等于2000时都应该接受。

类似这样的拒绝域在单侧的检验，称为单侧检验。下面用一些例子，说明单侧检验是如何进行的。

2问题 设总体 ?～N(?,?)，其中 ??0 未知，(X1,X2,?,Xn)是?的样本，要

检验H0：??

检验方法 ?0 （备选假设H1：???0） 。

因为 ?～N(?,?)，由2.5节的定理2.10可知，这时有 2??n～t(n?1) 。 S*

取一个统计量 T???0

S*n????0??n?S*S*n 。

若H0：??则 ?0为真，???0

S*n?0 ，即T这个随机变量，等于一个服从t(n?1)

分布的随机变量，再加上一个大于等于0的项，所以，这时统计量T的分布，相对于t(n?1) ７７

分布来说，峰值位置或者相同、或者有一个向右的偏移。

若H0：???0不真，则 ???0

S*n?0，即T这个随机变量，等于一个服从t(n?1)

分布的随机变量，再加上一个小于0的项，所以，这时统计量T的分布，相对于t(n?1)分布来说，峰值位置会有一个向左的偏移。

因此可得到检验方法如下：

从样本求出 T???0

S*n的值。对于给定的显著水平?，查 t 分布的分位数表，

可得分位数 t1??(n?1)，使得P{T??t1??(n?1)}??，当 T??t1??(n?1) 时拒绝H0 ，否则接受 H0 。

例6 设灯泡寿命 ?～N(?,?2)，抽取容量为 n?20 的样本，测得 ?1960（小时），S*?200（小时），问：能否认为灯泡的平均寿命已达到2000小时？（显著水平 ??0.05 ）

解 问题相当于要检验H0：??2000 （备选假设H1：??2000） 。

已知 n?20，?1960 ， S*?200 ，求得

T???0

S*n?1960?200020??0.8944 。 200

对 ??0.05，查 t 分布表，可得分位数 t1??(n?1)?t0.95(19)?1.7291, 由于 T??0.8944??1.7291??t1??(n?1)，因此接受 H0：??2000，可以认为灯泡的平均寿命已达到2000小时 。

下面再看一种单侧检验的情形。

22问题 设总体 ?～N(?1,?1)，?～N(?2,?2)，其中?1，?2都未知，

（X1,X2,?,Xm），（Y1,Y2,?,Yn）分别是 ?，? 的样本，两个样本相互独立，要检验

222（备选假设H1：?1??2） 。 H0：?12??2

检验方法

因为 ?～N(?1,?1)，?～N(?2,?2)，由2.5节定理2.14可知，这时有 22

Sx*212～F(m?1,n?1) 。 2Sy*22

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