数理统计方法4-1

第4章 假设检验

§4.1 假设检验的基本思想

为了说明假设检验的基本思想，下面先看几个例子。

例1 某车间用包装机装葡萄糖，按照标准，每袋平均净重应为 0.5（kg），现抽查9袋，测得净重（单位：kg）为

0.497，0.506，0.516，0.524，0.481，0.511，0.510，0.515，0.512。

问包装机工作是否正常？

可以认为，每袋糖的净重?服从正态分布N(?,?2)，平均净重就是总体?的均值?，包装机工作正常时，应该有??0.5。所以，这相当于先提出了一个假设 H0：??0.5 ，然后要求我们根据实际测得的样本数据，检验它是否成立。

例2 对于某种针织品的强度，在80?C时，抽取5个样品，测得样本均值 ?19.6 ，修正样本标准差 Sx*?0.42 ；在70?C时，抽取6个样品，测得样本均值 ?20.3 ，修正样本标准差 Sy*?0.30 。设这种针织品的强度服从正态分布，问在80?C和70?C时的平均强度是否相同？

设针织品在80?C和70?C时的强度,分别为 ?～N(?1,?1) 和 ?～N(?2,?2)，平均强度就是两个总体的均值 ?1 和 ?2，所以，问题相当于要求从样本观测值出发，检验假设H0：?1??2 是否成立。

例3 已知某班学生的一次考试成绩，问学生的考试成绩?是否服从正态分布？

学生的考试成绩可以看作是总体?的样本观测值，问题相当于提出了这样一个假设22H0：?～N(?,?2)，然后要求从样本出发，检验它是否成立。

这三个例子有一个共同的特点，它们都是先提出了一个假设，然后要求从样本出发检验它是否成立。这种问题称为假设检验问题。

在假设检验中，提出要求检验的假设，称为原假设，记为H0 ，原假设如果不成立，就要接受另一个假设，这另一个假设称为备选假设，记为H1 。

例如，在上面的例1中，原假设是??0.5 ，备选假设是H1：??0.5 。在上面的 ６７

例2中，原假设是H0：?1??2 ，备选假设是H1：?1??2 。在上面的例3中，原假设是 H0：?～N(?,?2) ，备选假设是 H1：?不服从正态分布。

为了便于作假设检验，一般总是用带等号的式子作为原假设。当原假设与备选假设正好相反时，通常只写出原假设，备选假设就不写出来了。

假设检验是如何进行的呢？下面以一种简单的情形为例，推导出这种情形下的检验方法，并以此说明假设检验的基本思想和原理。

问题 设总体 ?～N(?,?2)，已知其中???0，(X1,X2,?,Xn)是?的样本，要检验H0：??

分析推导

2 因为 ?～N(?,?0)，由2.5节的定理2.5可知，这时有。 ?0 （其中?0是某个已知常数）??

?0n～N(0,1)，其中

是样本均值。

取一个统计量 U???0

?0n????0n????0n 。 ?0

若H0：??则 ?0为真，???0??0?? n?0，n～N(0,1) 。U?n??0?0?0

???0n?0，这时，U这个随机变量，等于一个服从?0 若H0：???0不真，则

N(0,1)分布的随机变量，再加上一个不等于0的项，所以，这时统计量U的分布，相对于N(0,1)分布来说，峰值位置会有一个向左或向右的偏移。

从样本可以算出U的值，如果U的值落在中间，绝对值较小，显然H0为真的可能性 ６８

比较大，不真的可能性比较小，这时应该接受H0；如果U的值落在两边，绝对值偏大，则H0不真的可能性比较大，为真的可能性比较小，这时应该拒绝H0。

为了区分中间和两边，我们可以定出一个值 u1?? ，把U的取值范围分成两个区域：

W0?{UU?u1??} 和W1?{UU?u1??}。称W0为接受域，称W1为拒绝域。从样本求出U的值，U的值落在W0中，就接受H0，U的值落在W1中，就拒绝H0 。

用这样的方法来检验H0，会不会犯错误？当然会犯错误。下面把各种情形列一个表：

我们将犯第一类错误的概率记为 ?，将犯第二类错误的概率记为 ?。我们自然希望犯这两类错误的概率都尽可能小，但是，它们是互相牵连的，?小了，?就会变大；?小了，?就会变大。

为了便于处理，通常的做法是，不考虑?，只考虑?，事先给定一个很小的 ?值（例如??0.10，??0.05或??0.01），称为显著水平。然后，根据显著水平 ?来确定分位数，用分位数来划分接受域 W0 和拒绝域 W1。这样的检验，称为显著性检验。

例如在上面的问题中，设显著水平为?，则有

??P{U?W1H0为真}?P{U?u1??H0为真} 。 H0为真时，U???0

?0n～N(0,1)，由于N(0,1)分布的概率密度曲线关于x?0

，即有是左右对称的，所以从 P{U?u1??}?? 可知有P{U?u1??}?P{U?u1??}?1??2 。满足这一式子的分位数u1??可从书后附录中 N(0,1) 分布的分位数表中查到。

因此，可得到检验方法如下：

从样本求出统计量 U???0

?0n 的值。对于给定的显著水平?，查书后附录中

N(0,1) 分布的分位数表，可以求出分位数 u1?? ，使得P{U?u1??}?1??2。将统 ６９

计量U的值与分位数作比较，如果 U?u1?? 就拒绝H0 ，如果 U?u1?? 就接受

H0 。

§4.2 正态总体参数的假设检验

4.2.1 单个总体，方差已知时，均值的检验

问题 设总体 ?～N(?,?2)，已知其中 ???0，(X1,X2,?,Xn)是 ? 的样本，要检验H0：???0 。

在上一节中，我们已经推导出这种情形下的检验方法，下面看一个例子：

例1 某厂生产的钮扣，其直径 ?～N(?,?2)，已知??4.2（mm），现从中抽查100颗，测得样本均值?26.56（mm）。已知在标准情况下，钮扣直径的平均值应该是27（mm），问：是否可以认为这批钮扣的直径符合标准？（显著水平??0.05）

解 问题相当于要检验H0：??27 。

U???0

?0n?26.56?27??1.048 。 4.2

对 ??0.05，查 N(0,1) 分布的分位数表，可得分位数 u1???1.9600 ，因为

U??1.048?1.048?1.9600 ，所以接受 H0：??27 ，可以认为这批钮扣的直径符合标准。

4.2.2 单个总体，方差未知时，均值的检验

2问题 设总体 ?～N(?,?)，其中 ??0 未知，(X1,X2,?,Xn)是?的样本，要

检验H0：??

分析推导 ?0 。

2因为 ?～N(?,?0)，由2.5节的定理2.10可知，这时有 ??n～t(n?1) ，S*

其中，是样本均值，S*是修正样本标准差。

取一个统计量 T???0

S*n????0??n?S*S*n 。

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若H0：???0为真，则 ???0

S*n?0 ，显然有

T???0

S*n???n～t(n?1) 。 S*

若H0：???0不真，则 ???0

S*n?0，即T这个随机变量，等于一个服从t(n?1)

分布的随机变量，再加上一个不等于0的项，所以，这时统计量T的分布，相对于t(n?1)分布来说，峰值位置会有一个向左或向右的偏移。

因此可得到检验方法如下：

从样本求出统计量 T???0

S*

n的值，对于给定的显著水平?，查书后附录中t 分布的分位数表，可以求出分位数 t1??(n?1)，使得P{T?t1?(n?1)}?1??2，即使得 P{T?t1??(n?1)}?? 。将统计量T的值与分位数作比较，当 T?t1??(n?1)

时拒绝H0 ，否则接受 H0 。

例2 某车间用包装机装葡萄糖，每袋糖的净重?～N(?,?2)，包装机工作正常时，应该有??0.5。现抽查9袋，测得净重为

0.497，0.506，0.516，0.524，0.481，0.511，0.510，0.515，0.512。

问包装机工作是否正常？（显著水平??0.05）

解 问题相当于要检验H0：??0.5 。

样本容量 n?9，样本均值 ?0.508，修正样本标准差 S*?0.01251 ，

T???0

S*n?0.508?0.59?1.9185 。 0.01251

对??0.05，查 t 分布的分位数表，可得 t1?(n?1)?t0.975(8)?2.3060 , 由于

T?1.?1.9185?2.3060，因此接受H0：??0.5 ，可以认为包装机工作正常。

4.2.3 单个总体，均值未知时，方差的检验

问题 设总体 ?～N(?,?)，其中?未知，(X1,X2,?,Xn)是 ? 的样本，要检验2

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