数理统计方法2-2

§2.4 数理统计中几个常用的分布

下面介绍几个数理统计中常用的分布。

2.4.1 2 分布

定义2.1 若有X1,X2,...,Xn相互独立，Xi～N(0,1)，i 1,2, ,n，则称 所服从的分布为自由度是 n 的 2 分布，记为 2(n) 。

X

i 1

n

2

i

2 分布的概率密度为

nx 1 1

x2e2 n

22 (n) (x) 2

0

x 0

x 0

2 分布的图像见图2-2 。

2 分布的概率密度 (x)有下列性质：

（1） 当x 0时，有 (x) 0 。 （2） 当x 时，有 (x) 0 。 （3） 当x n 2 0时， (x)取到最大值。

2

定理2.2 如果 ～ (n)，则 E n。

22

证 因为 ～ (n)，根据 分布的定义，可以推知，必有X1

,X2,...,Xn相互

独立，Xi～N(0,1)，i 1,2, ,n，使得 因为Xi～N(0,1)，所以

X

i 1

n

2i

。

EXi 0，DXi 1，E(Xi2) DXi (EXi)2 1 02 1，i 1,2, ,n 。

因此有

n

n2 n2

E E Xi E(Xi) 1 n 。

i 1 i 1 i 1

定理2.3 如果有 ～ 2(m)， ～ 2(n)，相互独立，则 ～ 2(m n)。即

2 分布具有可加性。

证 因为 ～ 2(m)， ～ 2(n)，根据 2 分布的定义，可以推知，必有

X1,X2,...,Xm相互独立，Xi～N(0,1)，i 1,2, ,m，使得 Xi2 ；必有

i 1

m

Y1,Y2,...Y,n 相互独立 ，Yj～N(0,1)，j 1,2, ,n，使得 Yj2。

j 1

n

因为 与 相互独立，所以 X1,X2,...,Xm，Y1,Y2,...,Yn 相互独立。 这时

X

i 1

m

2

i

Yj2 是m n个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的

j 1

n

22

平方和，由 分布的定义，可知 ～ (m n)。

2.4.2 t 分布

定义2.2 若有 ～N(0,1)， ～ (n)，相互独立，则称

2

所服从的分布为n

自由度是 n 的 t 分布，记为 t(n) 。

t分布的概率密度为

(

(x)

n 1

)n 12

x(1 )2 ， x 。

nnn ()

2

t 分布的图像见图2-3 。

t 分布的概率密度 (x)有下列性质：

（1） (x)关于x 0左右对称。 （2） 当x 时，有 (x) 0 。 （3） 当x 0时， (x)取到最大值。

（4） 当n 时， (x) 就是 N(0,1) 标准正态分布。

12

e

x22

，换句话说，n 时，t(n) 分布的极限

2.4.3 F分布

定义2.3 若有 ～ (m)， ～ (n)，相互独立，则称

2

2

m

所服从的分布为 n

自由度是 (m,n) 的 F分布，记为 F(m,n)。

F分布的概率密度为

mnm m n 1 ()222 mnx mm n

n

(x) () ()(mx n)2

2 2

0

x 0

x 0

F分布概率密度的图像见图2-4 。

F分布的概率密度 (x)有下列性质：

（1） 当x 0时，有 (x) 0 。 （2） 当x 时，有 (x) 0 。

1 （3） 当 x 时， (x)取到最大值。

1 定理2.4 如果 F～F(m,n)，则必有

1

～F(n,m) 。 F

证 因为 F～F(m,n) ，由 F 分布的定义可知，必有 ～ 2(m)， ～ 2(n)，相互独立，使得 F

m

。 n

这时

11 n

，根据 F 分布的定义，立即可推知 ～F(n,m) 。

FF m

§2.5 正态总体统计量的分布

在作统计推断时，往往需要知道统计量的分布，而统计量的分布又与总体的分布有关。

在大多数实际问题中，可以认为或近似认为总体服从正态分布。服从正态分布的总体，称为正态总体。下面给出几个有关正态总体统计量分布的定理。

定理2.5 设（X1,X2, ,Xn）是总体 ～N( , ) 的样本，是样本均值，则有 ～N( ,

2

2

n

) ，即有

n～N(0,1) 。

证 是X1,X2, ,Xn的线性函数，而X1,X2, ,Xn中的每一个Xi都服从正态分布，而且相互独立，在概率论中，我们已经知道：相互独立的正态分布的线性组合仍为正态分布，因此，这里的服从正态分布。

D 2

由前面2.3节的定理2.1可知，E E ，D ，所以有 nn

～N( ,

2

n

) ，即有

n

n

2

～N(0,1) 。

为了证明下面的定理，先给出一些定义。 定义2.4 设X1,X2, ,Xn是n个随机变量。称

X1 EX1

为维随机向量，EX 为X的数学期望向量，

X n

EXn Xn

DX E[(X EX)(X EX)T] E

X1 EX1 X EX X EX

1nn 1

Xn EXn

E(X1 EX1)2 E[(X1 EX1)(Xn EXn)]

E[(Xn EXn)(X1 EX1)] E(Xn EXn)2 DX1 cov(X1,Xn)

为X的协方差矩阵。

DXn cov(Xn,X1)

X1 a11 a1n

为

定理2.6 设X 为n维随机向量，A n n常数矩阵，

Xn an1 ann

T

则有 E(AX) AEX，D(AX) ADXA 。

a11 a1n 证 因为 AX an1 ann X1

Xn

n

aX 1jj j 1 ，所以 n

aX

njj j 1