中学物理竞赛力学部分

中学物理竞赛力学部分

质点运动学

rrrr

位置矢量 r=xi+yj+zk

rrrrrr

运动学方程r=r(t) r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k

r

srrr r

位移 r=rB rA 平均速度 = 平均速率 =

t t

rr

r rdrds

瞬时速度 v=lim= 瞬时速率

t→0 tdtdtrrrr2 vr vdvdr

平均加速度 a= 瞬时加速度 a=lim==2

t→0 t tdtdt圆周运动与一般曲线运动

dv

切向加速度 at= 表示质点速率变化的快慢

dt

v2ds

法向加速度 an= 表示质点速度方向变化的快慢。 其中 ρ= 称为曲

ρdθ

线在该点的曲率半径

r总加速度a的大小为

a==

r

总加速度a的方向可用它和法向（指向曲率中心）间的夹角α表示 α=arctan

at

an

圆周运动的角量描述 角位置：θ=θ(t) 角速度ω=

θdθ ωdω

= 角加速度: β== limlim tdt tdt t→0 t→0

2

an=Rω

角量和线量的关系 v=Rω

aτ=Rβ

相对运动

运动描述与参照系：对物体运动的描述与参照系有关——位移、速度、加速度的测量与参照系有关。

rrr

r=r0+r′

rvrv=v0+v′ rrra=a0+a′

曲率半径的物理求法

v2v2

an=→ρ=

ρan

题1 椭圆的曲率半径：

x

x2y2

轨道方程：2+2=1

ab x=acosωt

设运动方程为：

ybsinωt=

题2 抛物线的曲率半径：

x=t

y=Ax 设运动方程为： 2

y=At

2

连体运动问题

解题方法一：运动的分解

情形1：两物体通过刚性细杆或不可伸长的绳子相连，他们在连线方向的位移、速度和加速度相等。

v2

v1cosα=v2cosβ

情形2：两刚性物体接触点的速度沿法向分量相等。

题3 如图示，一半径为R的半圆柱体沿水平方向以速度v0作匀速运动。求杆与半圆柱体的接触点P的角位置为θ 时竖直杆运动的速度。

v0sinθ=vPcosθ vP=

v0tanθ

情形3：两直线相交点的运动等于各直线沿对方直线方向运动的合运动：

题4 水平直杆AB在半径为R的固定

圆圈上以匀速v0竖直下落，如图所示，试求套在该直线和圆圈的交点处小环M的速度。vM=v1=

v0

sinθ

题5 如图，一平面内有两

根夹角为θ 细杆l1和l2，两细杆各自以垂直于自己的速度v1和

v2在该平面内运动，试求两细杆交点P的速率。

vv

′=1,v2′=2, v1

sinθsinθvP==

v2 解题方法二：运动的合成（相对运动）

题6 一个物体同时参与两种运动实质上是参照系的转换：

如图，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子A上。今以恒定速度v拉绳，当绳与竖直方向夹角为θ时，求线轴中心O的运动速度v。设线轴的外半径为R，内半径为r，线轴沿水平面作无滑动滚动。

情况1：线轴座逆时针方向转动。设转动角速度为ω 。 ′=rω B点相对O的速度大小：vB

′+vO B点相对于地面的速度：vB=vB

vB沿绳子方向的分量与v相等：rω vOsinθ=v 线轴与地面无滑动：vO=Rω

Rv

可知，情况1出现的条件为：r>Rsinθ

r Rsinθ

Rv

情况2：线轴座顺时针方向转动。同理可得：vO=

Rsinθ r

出现情况2的条件为：r<Rsinθ 题7 求重物上升的加速度。

以O点为参照系，绳子末端A作圆周运动，其加速度沿绳子方向的分量，即向心加速度大小为 vO=

2v0sin3θ′=aA||

h

以地面为参照系，A的加速度

rrrrrr

′ aA||=aO||+aA||′ aA=aO+aA

22v0sin3θv0sin3θ

0= aB+ aB=

hh

0 题8 求竖直杆运动的加速度。

以圆心O为参照系，P点作圆周运动，其速度大小为：

vv′=0

cosθ

向心加速度： vv′

′=an= 2

RRcosθP点相当于地面的加速度： rrrrrr

′ aP=a′+a0=a′=at′+an

2

′anv0

aP= = 3

cosθRcosθ

2

2

解题方法三：微积分

关键：找出各物体间位移间的关系，进而得到速度、加速度之间的关系。 以上例题可以用微积分的方法求解。

刚体定轴转动和刚体平面平行运动描述

题9：玩具车的速度与加速度。一小孩自B点手拉绳的一端沿人行道的边缘以恒定速度u行走，小车放在粗糙的水平街面上。求当绳与人行道成 角时，小车的速度与加速度。设绳长为l，绳始终处于拉直状态。 提示：小车只能沿绳的方向运动。

考虑相对运动，P相对于B作圆周运动

B

at=dv'/dt=d(usinθ)/dt=ucosθdθ/dt

=ucosθv'/l=u2sinθcosθ/l

2

an=v'2/l=(usin

θ)/l

2 a==usinθ/l

B 题10：

如图所示，杆OA长为R，可绕过O点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A系着一跨过定滑轮B、C的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M。滑轮的半径可忽略，B在O的正上方，OB之间的距离为H。某一时刻当绳BA段与OB之间夹角为α时，杆的角速度为ω, 求此时物块Μ的速率。 l2=H2+R2 2HRcosβ 2ll&

=2HRsinβω Rsinβ=

l

sinα &

v=l=ωHsinα 题11（25分）图中所示为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连成的平面连杆结构图。AB 和CD杆可分别绕过A、D的垂直于纸面的固定轴转动，A、D两点位于同一水平线上。BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。当AB杆绕A轴以恒定的角速度ω转到图中所示的位置时，AB杆处于竖直位置。BC杆与CD杆都与水平方向成45°角，已知AB杆的长度为l，BC杆和CD杆的长

v=ucos(θ

)

B

vA