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证明数列是等差或等比数列的方法

上传者:林永孚
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上传时间:2015-04-26
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证明数列是等差或等比数列的方法

一、证明或判断数列为等差数列的方法

1.定义法

在数列?an?中,若an?an?1?d(d为常数),则数列?an?为等差数列 例:已知正项数列?an?的前n项和为Sn,a1? 证明:数列?an?是等差数列

证明:由2Sn?1?2Sn?3an?1得2(Sn?an?1)?2Sn?3an?1 整理得4Sn?3an?1?2an?1 则4Sn?1?3an?2an 两式相减得4an?3an?1?3an?2an?1?2an 3an?1?3an?2an?1?2an 因为?an?是正项数列,所以an?an?1?0 所以3?an?1?an??2,即an?1?an? 所以?an?是首项为

2.等差中项法

an?an?2?2an?1?{an}是等差数列 例:设数列?an?的前n项和为Sn,已知a1?1,a2?6,a3?11,且 (5n?8)Sn?1?(5n?2)Sn?An?B其中A、B为常数 ,n?1,2,3,,

(1)求A与B的值 (2)证明数列?an?是等差数列 解:(1)因为a1?1,a2?6,a3?11,所以S1?1,S2?7,S3?18 2222222222,且满足2Sn?1?2Sn?3an?1(n?N*) 32 322,公差为的等差数列 33 把n?1,n?2分别代入?5n?8?Sn?1??5n?2?Sn?An?B 得?3?7?7?1?A?B 2?18?12?7?2A?B 解得:A??20,B??8

(2)由(1)知?5n?8?Sn?1??5n?2?Sn??20n?8 整理得5n?Sn?1?Sn??8Sn?1?2Sn??20n?8

即5n?an?1?8Sn?1?2Sn??20n?8 ① 又5?n?1?an?2?8Sn?2?2Sn?1??20?n?1??8② ②-①得5?n?1?an?2?5n?an?1?8an?2?2an?1??20 即?5n?3?an?2??5n?2?an?1??20 ③

又?5n?2?an?3??5n?7?an?2??20 ④

④-③得?5n?2??an?3?2an?2?an?1??0

所以an?3?2an?2?an?1?0

所以an?3?an?2?an?2?an?1???a3?a2?5,又a2?a1?5 所以数列?an?是首项为1,公差为5的等差数列

3.看通项与前n项和法(注:这些结论适用于选择题填空题)

(1)若数列通项an能表示成an?an?b(a,b为常数)的形式,则数列?an?是等差数列;

(2)若数列?an?的前n项和Sn能表示成Sn?an?bn(a,b为常数)的形式,则2

数列?an?是等差数列

例:若Sn是数列?an?的前n项和,Sn?n,则?an?是( ) 2

A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列

C.等差数列,也是等比数列 D.既不是等差数列,也不是等比数列 解析:根据(2)知?an?等差数列,不是等比数列

二、证明或判断数列为等比数列的方法

1.定义法

在数列?an?中,若an,则数列?an?为等比数列 ?q(q为常数)an?1

?1a n为偶数?11?2n

例:设数列?an?的首项a1?a?,且an?1?? , 记bn?a2n?1?,44?a?1 n为奇数n??4

n?1,2,3…

(1)求a2,a3

(2)判断数列?bn?是否为等比数列,并证明你的结论

11111?a?,a3?a2?a? 44228

113113 (2)a4?a3??a?,a5?a4?a? 4282416

1111111 所以b1?a1??a?,b2?a3??a??(a?) 4442824

11111 b3?a5??a??(a?) 441644

1 猜想?bn?是公比为的等比数列 2解:(1)a2?a1?

证明如下:因为

bn?1?a2(n?1)?1?1111111111?a2n?1??a2n??(a2n?1?)??(a2n?1?)?bn 4424244242

11 所以{bn}是首项为a?,公比为的等比数列. 24

例2:已知数列{an}的首项a1?5,前n项和为Sn,Sn?1?2Sn?n?5(n?N?) ,证明数列{an?1}是等比数列;

解:由已知Sn?1?2Sn?n?5(n?N*)可得n?2时,Sn?2Sn?1?n?4两式相减得:Sn?1?Sn?2(Sn?Sn?1)?1,即an?1?2an?1,从而an?1?1?2(an?1),

当n?1时,S2?2S1?1?5,所以a2?a1?2a1?6,

又a1?5,所以a2?11,从而a2?1?2(a1?1).

故总有an?1?1?2(an?1),n?N?,又a1?5,a1?1?0,从而

所以数列{an?1}是等比数列.

例3:设数列?an?的前n项的和为Sn,且a1?1,Sn?1?4an?2,n?N

(1)设bn?an?1?2an,求证:数列?bn?是等比数列;

证明:(1)n?2时 an?1?1?2. an?1?*?。

?an?1?Sn?1?Sn?4an?4an?1,

?an?1?2an?2?an?2an?1?,

?bn?2bn?1

又b1?a2?2a1?S2?3a1?a1?2?3

??bn?是首项为3,公比为2的等比数列。

例4:设数列?an?的首项a1?1,前n项和sn满足关系3tsn??2t?3?sn?1?3t,求证?an?为等比数列。

(错证)由题意:3tsn??2t?3?sn?1?3t

3tsn?1??2t?3?sn?2?3t

两式相减得:3t?sn?sn?1???2t?3??sn?1?sn?2??0

即:3tan??2t?3?an?1?0

所以:an2t?3为定值,所以?an?为等比数列。 ?an?13t

由于在证明的过程没有注意到各符号有意义的条件,从而忽略了n的取值范围,导致证明不符合定义的完整性。

正确的证明如下:n?3时:

3tsn??2t?3?sn?1?3t

3tsn?1??2t?3?sn?2?3t

两式相减得:3t?sn?sn?1???2t?3??sn?1?sn?2??0

即:3tan??2t?3?an?1?0 所以:an2t?3 ?an?13t

(这只能说明从第二项开始,后一项与前一项的比为定值,所以需要对第二项与第一项的比另外加以证明,以达到定义的完整性。)

又因为n?2时:

3ts2??2t?3?s1?3t

即3t?a1?a2???2t?3?a1?3t

又因为a1?1,所以3t?3ta2?(2t?3)?3t

所以 a2?

所以 2t?3 3ta22t?3 ?a13t

an2t?3为定值,所以?an?为等比数列。 ?an?13t所以对任意n?2都有

总之,在用定义证明一个数列为等差数列或等比数列的时候,一定要注意下标n的取值范围,不管是an?an?1;ana还是an?1?an?2;n?1还是其它的情况,都在考虑定义的an?1an?2

完整性,确保任何的后一项与相邻前一项的差(比)为定值,如有不全面的地方须另外加以补充。

2.看通项与前n项和法

(1)若通项an能表示成an?cq(c,q均为不为0的常数)的形式,则{an}是等比数列

(2)若数列{an}的前n项和Sn能表示成Sn?Aq?A(A、q均为不等于0的常数,且nn

q?1)的形式,则数列{an}是公比不为1的等比数列

1?1?1例:已知数列?an?的前n项和Sn?????,则数列?an?是什么数列 3?2?3

解析:由数列前n项和可知,数列?an?是等比数列,首项a1???n11111??,公比q? 32362

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