证明数列是等差或等比数列的方法

一、证明或判断数列为等差数列的方法

1.定义法

在数列?an?中，若an?an?1?d（d为常数），则数列?an?为等差数列 例：已知正项数列?an?的前n项和为Sn，a1? 证明：数列?an?是等差数列

证明：由2Sn?1?2Sn?3an?1得2(Sn?an?1)?2Sn?3an?1 整理得4Sn?3an?1?2an?1 则4Sn?1?3an?2an 两式相减得4an?3an?1?3an?2an?1?2an 3an?1?3an?2an?1?2an 因为?an?是正项数列，所以an?an?1?0 所以3?an?1?an??2，即an?1?an? 所以?an?是首项为

2.等差中项法

an?an?2?2an?1?{an}是等差数列 例：设数列?an?的前n项和为Sn，已知a1?1，a2?6，a3?11，且 (5n?8)Sn?1?(5n?2)Sn?An?B其中A、B为常数 ，n?1，2，3，，

（1）求A与B的值 （2）证明数列?an?是等差数列 解：（1）因为a1?1，a2?6，a3?11，所以S1?1，S2?7，S3?18 2222222222，且满足2Sn?1?2Sn?3an?1（n?N*） 32 322，公差为的等差数列 33 把n?1，n?2分别代入?5n?8?Sn?1??5n?2?Sn?An?B 得?3?7?7?1?A?B 2?18?12?7?2A?B 解得：A??20，B??8

（2）由（1）知?5n?8?Sn?1??5n?2?Sn??20n?8 整理得5n?Sn?1?Sn??8Sn?1?2Sn??20n?8

即5n?an?1?8Sn?1?2Sn??20n?8 ① 又5?n?1?an?2?8Sn?2?2Sn?1??20?n?1??8② ②-①得5?n?1?an?2?5n?an?1?8an?2?2an?1??20 即?5n?3?an?2??5n?2?an?1??20 ③

又?5n?2?an?3??5n?7?an?2??20 ④

④-③得?5n?2??an?3?2an?2?an?1??0

所以an?3?2an?2?an?1?0

所以an?3?an?2?an?2?an?1???a3?a2?5，又a2?a1?5 所以数列?an?是首项为1，公差为5的等差数列

3.看通项与前n项和法（注：这些结论适用于选择题填空题）

（1）若数列通项an能表示成an?an?b（a，b为常数）的形式，则数列?an?是等差数列；

（2）若数列?an?的前n项和Sn能表示成Sn?an?bn（a，b为常数）的形式，则2

数列?an?是等差数列

例：若Sn是数列?an?的前n项和，Sn?n，则?an?是（ ） 2

A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列

C.等差数列，也是等比数列 D.既不是等差数列，也不是等比数列 解析：根据（2）知?an?等差数列，不是等比数列

二、证明或判断数列为等比数列的方法

1.定义法

在数列?an?中，若an，则数列?an?为等比数列 ?q（q为常数）an?1

?1a n为偶数?11?2n

例：设数列?an?的首项a1?a?，且an?1?? ， 记bn?a2n?1?，44?a?1 n为奇数n??4

n?1,2,3…

（1）求a2，a3

（2）判断数列?bn?是否为等比数列，并证明你的结论

11111?a?，a3?a2?a? 44228

113113 (2)a4?a3??a?,a5?a4?a? 4282416

1111111 所以b1?a1??a?，b2?a3??a??(a?) 4442824

11111 b3?a5??a??(a?) 441644

1 猜想?bn?是公比为的等比数列 2解：（1）a2?a1?

证明如下：因为

bn?1?a2(n?1)?1?1111111111?a2n?1??a2n??(a2n?1?)??(a2n?1?)?bn 4424244242

11 所以{bn}是首项为a?，公比为的等比数列． 24

例2：已知数列{an}的首项a1?5，前n项和为Sn，Sn?1?2Sn?n?5(n?N?) ，证明数列{an?1}是等比数列；

解：由已知Sn?1?2Sn?n?5(n?N*)可得n?2时,Sn?2Sn?1?n?4两式相减得:Sn?1?Sn?2(Sn?Sn?1)?1，即an?1?2an?1，从而an?1?1?2(an?1)，

当n?1时，S2?2S1?1?5，所以a2?a1?2a1?6，

又a1?5，所以a2?11，从而a2?1?2(a1?1)．

故总有an?1?1?2(an?1)，n?N?，又a1?5，a1?1?0，从而

所以数列{an?1}是等比数列．

例3：设数列?an?的前n项的和为Sn，且a1?1,Sn?1?4an?2,n?N

（1）设bn?an?1?2an，求证：数列?bn?是等比数列；

证明：（1）n?2时 an?1?1?2． an?1?*?。

?an?1?Sn?1?Sn?4an?4an?1，

?an?1?2an?2?an?2an?1?，

?bn?2bn?1

又b1?a2?2a1?S2?3a1?a1?2?3

??bn?是首项为3，公比为2的等比数列。

例4：设数列?an?的首项a1?1，前n项和sn满足关系3tsn??2t?3?sn?1?3t，求证?an?为等比数列。

（错证）由题意：3tsn??2t?3?sn?1?3t

3tsn?1??2t?3?sn?2?3t

两式相减得：3t?sn?sn?1???2t?3??sn?1?sn?2??0

即：3tan??2t?3?an?1?0

所以：an2t?3为定值，所以?an?为等比数列。 ?an?13t

由于在证明的过程没有注意到各符号有意义的条件，从而忽略了n的取值范围，导致证明不符合定义的完整性。

正确的证明如下：n?3时：

3tsn??2t?3?sn?1?3t

3tsn?1??2t?3?sn?2?3t

两式相减得：3t?sn?sn?1???2t?3??sn?1?sn?2??0

即：3tan??2t?3?an?1?0 所以：an2t?3 ?an?13t

（这只能说明从第二项开始，后一项与前一项的比为定值，所以需要对第二项与第一项的比另外加以证明，以达到定义的完整性。）

又因为n?2时：

3ts2??2t?3?s1?3t

即3t?a1?a2???2t?3?a1?3t

又因为a1?1，所以3t?3ta2?(2t?3)?3t

所以 a2?

所以 2t?3 3ta22t?3 ?a13t

an2t?3为定值，所以?an?为等比数列。 ?an?13t所以对任意n?2都有

总之，在用定义证明一个数列为等差数列或等比数列的时候，一定要注意下标n的取值范围，不管是an?an?1；ana还是an?1?an?2;n?1还是其它的情况，都在考虑定义的an?1an?2

完整性，确保任何的后一项与相邻前一项的差（比）为定值，如有不全面的地方须另外加以补充。

2.看通项与前n项和法

（1）若通项an能表示成an?cq（c，q均为不为0的常数）的形式，则{an}是等比数列

（2）若数列{an}的前n项和Sn能表示成Sn?Aq?A（A、q均为不等于0的常数，且nn

q?1）的形式，则数列{an}是公比不为1的等比数列

1?1?1例：已知数列?an?的前n项和Sn?????，则数列?an?是什么数列 3?2?3

解析：由数列前n项和可知，数列?an?是等比数列，首项a1???n11111??，公比q? 32362