2004年普通高等学校招生全国统一考试Ⅳ数学

2004年普通高等学校招生全国统一考试Ⅳ

理科数学（必修+选修Ⅱ）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟. 第I卷 参考公式：

球的表面积公式

如果事件A、B互斥，那么 2

S=4 R

P（A+B）=P（A）+P（B）

其中R表示球的半径，

如果事件A、B相互独立，那么

球的体积公式

P（A·B）=P（A）·P（B）

43V= R 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 3

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

kn－k

Pn(k)=Ck nP(1－P)

其中R表示球的半径

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.

1．已知集合M {0,1,2},N {x|x 2a,a M}，则集合M N= （ D ）

A．{0}

B．{0，1}

C．{1，2} （ C ）

C．y

1

lnx(x 0) 2

D．{0，2}

2．函数y e2x(x R)的反函数为

A．y 2lnx(x 0)

B．y ln(2x)(x 0) D．y

1

ln2x(x 0) 2

3．过点（－1，3）且垂直于直线x 2y 3 0的直线方程为

A．2x y 1 0

B．2x y 5 0

（ B ）

D．x 2y 7 0

C．x 2y 5 0

1 i)2

4．()=

1 i

（ ） B． 3 i

C． i

D． 3 i

A． i

5．不等式

x(x 2)

0的解集为 x 3

（ ）

B．{x| 2 x 2,或x 3} D．{x|x 0,或x 3}

A．{x|x 2,或0 x 3} C．{x|x 2,或x 0}

6．等差数列{an}中，a1 a2 a3 24,a18 a19 a20 78，则此数列前20项和等于 （ B ）

A．160 B．180 C．200 7．对于直线m、n和平面 ，下面命题中的真命题是 （ A ）

A．如果m ,n ,m、n是异面直线，那么n// B．如果m ,n ,m、n是异面直线，那么n与 相交

D．220

C．如果m ,n// ,m、n共面，那么m//n D．如果m// ,n// ,m、n共面，那么m//n

1

，且它的一个焦点与抛物线y2 4x的焦点重合， 2

（ A ）

8．已知椭圆的中心在原点，离心率e 则此椭圆方程为

x2y2

1 A．43x2

y2 1 C．2

x2y2

1 B．86x2

y2 1 D．4

9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任）， 要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 （ ）

A．210种 B．420种 C．630种 D．840种 10．已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点.如果AB=AC=2，BC=23，则球心

到平面ABC的距离为 A．1

（ ）

C．

D．2

B．2

11．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列，

3

∠B=30°，△ABC的面积为，那么b= （ ）

2

A．

1 2

B．1 3 C．

2 2

D．2

1

,f(x 2) f(x) f(2),则f(5) （ ） 2

5

A．0 B．1 C． D．5

2

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

12．设函数f(x)(x R)为奇函数，f(1)

13．(x

1x

)8展开式中x5的系数为14．向量a、b满足（a－b）·（2a+b）=－4，且|a|=2，|b|=4，则a与b夹角的余弦值等于

1

2

31

15．函数f(x) cosx cos2x(x R)的最大值等于 .

42

16．设x,y满足约束条件：

x y 1,

y x, y 0,

则z 2x y的最大值是 .

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

sin( )

4已知α为第二象限角，且 sinα=的值. ,求4sin2 cos2 1

18．（本小题满分12分）

1

求函数f(x) ln(1 x) x2在[0，2]上的最大值和最小值.

4

19．（本小题满分12分）

某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响.

（Ⅰ）求这名同学回答这三个问题的总得分 的概率分布和数学期望； （Ⅱ）求这名同学总得分不为负分（即 ≥0）的概率. 20．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且

与底面所成二面角为60°.

（Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积； （Ⅱ）证明PA⊥BD. 21．（本小题满分12分）

x2y2

双曲线2 2 1(a 1,b 0)的焦点距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）

ab

4

c.求双曲线的离心率e的取值范围. 5

到直线l的距离与点（－1，0）到直线l的距离之和s 22．（本小题满分14分）

已知函数f(x) e x(cosx sinx),将满足f (x) 0的所有正数x从小到大排成数列{xn}.

（Ⅰ）证明数列{f{xn}}为等比数列；

（Ⅱ）记Sn是数列{xnf{xn}}的前n项和，求lim

2004年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案

一、选择题

S1 S2 Sn

.

n n

1—12 D C A D A B C A B A B C

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13

13．28 14． 15． 16．2

24

三、解答题

17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等 基础知识和基本技能.满分12分.

2

(sin cos )

解：

sin2 cos2 12sin cos 2cos2

sin(

)

2(sin cos )

.

4cos (sin cos )

时 4

当 为第二象限角，且sin

1

sin cos 0,cos ，

4

sin( )

2所以= 2.

sin2 cos2 14cos

18．本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小 值以及综合运算能力.满分12分.

11 x, 解：f (x)

1 x2

11

x 0, 令

1 x2化简为x2 x 2 0, 解得x1 2(舍去),x2 1. 当0 x 1时,f (x) 0,f(x)单调增加； 当1 x 2时,f (x) 0,f(x)单调减少. 所以f(1) ln2

1

为函数f(x)的极大值. 4

又因为 f(0) 0,f(2) ln3 1 0,f(1) f(2),

所以 f(0) 0为函数f(x)在[0，2]上的最小值，f(1) ln2

1

为函数f(x) 4

在[0，2]上的最大值.

19．本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念，以及运用概率统计知识解 决实际问题的能力.满分12分.

解：（Ⅰ） 的可能值为－300，－100，100，300.