木棒和子弹组成系统的动量守恒问题

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木棒和子弹组成系统的动量守恒问题

王宗昌

(南阳师范学院物理系,河南南阳473061)

　　摘　要:详细分析了子弹射击木棒问题与子弹射击砂箱问题的区别,利用质心运动定理和角动量守恒定律说明了在什么情况下系统的动量才守恒。又引入打击中心的概念,指出了理论的实际应用。

关键词:系统;动量;守恒条件

中图分类号:O31313　　　文献标识码:A　　　文章编号:1671-6132(2005)09-0036-02

　　如图1所示,一长为L、质量为M的均匀木棒,上端用光滑水平轴吊起而静止下垂。今有一质

量为m的子弹以水平速度v0射入棒的下端距轴为d(>L/2)处而不复出。求子弹刚停在棒中时棒的角速度ω

。

ω=

。

2md+ML

(2)

。理由是:在冲击摆问题中,,因。但在这个,这里涉及的是一个刚,因而根本不能用质点系的动量守恒。这种说法显然是错误的,因为木棒虽然不能看做质点,但也是一个质点系,木棒和子弹组成的系统当然也是一个质点系,怎么不能用质点系的动量守恒定律求解呢?

于是,又出现了一种说法:虽然木棒和子弹组成的系统是一个质点系,但这个系统在水平方向的动量根本不守恒。因为该系统对轴的角动量守恒是不容置疑的,即(1)式是绝对正确的,而(2)式和

图1

(1)式明显不同就是最好的说明。但这种说法是不

　　此题的一般解法是:由于轴光滑,无摩擦力,且子弹和木棒组成的系统受到的重力通过转轴,对轴不产生力矩,因而系统对轴的角动量守恒,即

mv0d=mdω+ML2ω

3

2

能令人信服的。有人提出质疑,若系统在水平方向动量不守恒,则必然是在水平方向受到了外力。但轴是光滑的,木棒又处于竖直状态,系统在水平方向怎么会受到外力呢?

其实,这个问题与冲击摆问题的不同之处是:在冲击摆问题中,沙箱是用细绳悬挂的,当细绳仍处于竖直状态时,就不会对沙箱提供水平方向的作

解之得

ω=。

3md2+ML2

(1)

用力。因而子弹和沙箱组成的系统在水平方向上的动量是守恒的。但本题中的木棒是用轴(尽管是光滑轴)悬挂的,只要木棒在水平方向上有运动趋势,就会受到轴对它水平方向的作用力。假定子弹对木棒的冲击点的位置接近于棒的下端,则棒的下端将具有水平向右的运动趋势,而棒的上端将具有水平向左的运动趋势,因而轴就要对棒产生水平向右的作用力;反之,若子弹对棒的冲击点的位置接

但笔者在教学过程中发现,有不少学生把此题与冲击摆问题(子弹水平射入用细绳竖直悬挂的沙箱中)相类比,认为子弹和木棒组成的系统在水平方向动量也守恒。即

ω+Mmv0=mvm+MvcM=md

从而得到

2

ω,

收稿日期:2005-04-25

作者简介:王宗昌(1953-),河南南阳人,副教授,从事普通物理教学与研究。

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　　第9期　　　　　　　　　　　　　王宗昌:木棒和子弹组成系统的动量守恒问题　　　　　　　　　　　　　　　　 37

近棒的上端,则棒的上端将有水平向右的运动趋势,从而轴将对棒产生水平向左的作用力。由此似乎可以得到这样一个结论:只有当子弹对木棒的冲击点位于木棒的中点时,轴对棒才不会产生水平方向的作用力,此时子弹和木棒组成的系统在水平方向的动量才守恒。这个结论实际上也是错误的。现分析如下。

如图2所示,设子弹对棒的冲击力为F,轴对棒的水平作用力为Nx,则对棒应用质心运动定理可得

F+Nx=MacM,

　　显然,当d=L/2时,Nx=-

F。这说明当4

子弹的冲击点位于棒的中点时,轴对棒的水平作用力并不等于零,其大小为子弹冲击力的3/4,方向水平向左。

对(3)式作进一步分析还可以知道,当d>2L/3时,Nx>0,说明此时轴对棒的作用力是水平向右的;当d<2L/3时,Nx<0,说明此时轴对棒的作用力是水平向左的;而当d=2L/3时,Nx=0。可见,只要子弹对木棒的冲击点的位置满足d=2L/3,轴对棒就不会产生水平作用力,子弹和棒组成的

式中acM为棒质心的切向加速度

。

系统在水平方向的动量就守恒。读者只要把d=2L/3分别代入(1)式和(2)式,就会得出相同的结

果ω=(。上述结论的正确性还可以用

4m+3M)L

实验来验证(,而放在一个光滑的水平槽内,)。,,=0O。实际上,任何形(或支点)都有一个打击中,如木棒击球,操斧劈柴等,若手握的位置(即固定点)与受冲击点的

　　,Fd=ML2β,

3

式中β为棒的角加速度。

而棒质心的切向加速度与棒的角加速度的关系为

acM=

位置合适时,便会感到振动轻微。工具的手柄制作要合理,使之既操作方便,又保证冲击点的位置在以手握点为支点的打击中心附近,熟练的操作者总能使手握点的位置合理。古人用刀、枪、棒等武器抵挡对方的打击时,也注意了这一点。

参　考　文　献

[1]　张三慧1大学基础物理学[M]1北京:清华大学出版

2

。

联立以上三式消去acM和β可得

Nx=(-1)F。

2L

社,20031

[2]　梁绍荣,等1普通物理学 力学[M]1北京:高等教育

(3)

出版社,19871

Conservationtothemomentumofthissystemaboutthebulletshootsthewoodenstaff

WANGZong-chang

(PhysicsDepartment,NanyangTeachers′College,Nanyang473061,China)

Abstract:Thispaperdetailedanalysisthedifferenttotheproblemofthebulletshootsthewoodenstaffwiththeprob2lemofthebulletshootsthesandbox.Withthetheoremofthemotionofcenterofmassandthelawofconservationofangularmomentumexplainedtheconditionofmomentumconservationofthissystem.Andmakeuseoftheconceptofattackcenterpointedouttheactualapplicationofthistheories.Keywords:system;momentum;conservativecondition