为什么叫超几何分布？(W.hans)

上传者：蒋海涛
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上传时间：2015-04-28
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为什么叫超几何分布？(W.hans)

为什么叫超几何分布？

W.Hans

“超几何分布”一词来源于超几何数列，就像“几何分布”来源于几何数列。请看 :

几何分布（Geometric distribution）是离散型机率分布。其中一种定义为：在第n次伯努利试验，才得到第一次成功的机率。详细的说，是：n次伯努利试验，前n-1次皆失败，第n次才成功的机率。

P?x=n?=?1-p?n-1p

这种分布像二项分布，但它不是发生几次的概率，而是只发生在最后一次的概率。比如射击前9次没中，最后一次射中，这种情况发生的概率。几何分布在高中已经不学，我也是听我的老师给我解释的。这里的概率公式像等比数列的通项公式，变量取不同值时对应的概率值形成了一个等比数列。

Hypergeometric series

In mathematics, the term hypergeometric series, first used by John Wallis (1655), means a series such that the ratio of two successive terms is a simple function of the index.

超几何级数在数学上，超几何级数一词在1655年第一次被John Wallis使用，该级数的每一项与其前一项之比为关于下脚标（也可译为指数）的简单函数。Hypergeometric series

A hypergeometric series is a series for which c0=1 and the ratio of consecutive terms is a rational function of the summation index.

超几何级数是首项为1的级数，并且该级数每一项与其前一项之比为关于下脚标（也可译为指数）的有理函数。

上面两个定义，前者来源于英文维基百科，后者来源于Wolfram MathWorld，定义区别主要是首项是否为1。还有级数是数列各项之和，所以级数里的项与数列里的项是一个意思，这个定义可以是超几何数列的定义。如果改成“每一项与其前一项之比为一个常数”，那这个定义就是等比数列，也就是几何数列的定义了。超几何数列是几何数列的推广，让我们举例来看它们的不同。

一个首项为1公比为5的几何数列，写为1,5,25,125,625……而一个首项为1，公比为5+n的超几何数列，n为项数，也就是第几项，前面提到的下脚标，那么会写成1,6,42,336,3024……看看下面的递推公式就更清楚了。

由于比值不再是一个常数，而与项数n有关，第二项变成了1*(5+1)，第三项成了1*(5+1)*(5+2)，依次类推。并且通项公式也会不同，可以自己求一求。

我们同样也可以由通项公式求公比和首项，你可以试一试，令n为n+1、n相比得到公比，令n为1得到首项。我们可以注意到通项公式里有关于变量n的阶乘形式的，这样的数列就会是一个超几何数列。

有了这些例子，我想超几何分布就不是什么难题了，如下。

mn-mCCN-M?N-M?!?N-n?!M!n!M? Am=?=nCN(N-M+m-n)!?M-m?!?n-m?!N!m!

令m为0、m+1、m求得首项和公比。

nCN-M A0==?n,CN?N-M-n?!N!?N-M?!?N-n?!?

Am+1??M-m?!?n-m?! ?=Am?N-M+m-n+1??m+1?

因为公比是一个关于下脚标m的函数，依据超几何数列的定义，我们可以知道该数列为超几何数列。

参考来源：

超几何数列，Hypergeometric series，：数列 t0, t1, ... , tk, tk+1, ... 如果满足条件

P?k?tk+1? t0=1, 且对于任意的k, 有?= 其中 P(k) 与 Q(k) 是给定的关于 k tkQ?k?