2000年全国初中数学竞赛试题

2000年全国初中数学竞赛试题解答

一、选择题（只有一个结论正确）

1. 设a,b,c的平均数为M，a,b的平均数为N，N，c的平均数为P，若a?b?c，则M

与P的大小关系是（ ）。

（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。

2. 某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米（b?a），

再前进c千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（ ）。

3. 甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）。

（A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲大5岁。

4. 一个一次函数图象与直线y?595x?平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且44

过点（－1，－25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）。

（A）4个；（B）5个；（C）6个；（D）7个。

5. 设a,b,c分别是△ABC的三边的长，且aa?b?，则它的内角∠A、∠B的关系ba?b?c

是（ ）。

（A）∠B＞2∠A；（B）∠B＝2∠A；（C）∠B＜2∠A；（D）不确定。

6. 已知△ABC的三边长分别为a,b,c，面积为S，?A1B1C1的三边长分别为a1,b1,c1，

面积为S1，且a?a1b?b1,c?c1，则S与S1的大小关系一定是（ ）。

（A）S＞S1；（B）S＜S1；（C）S＝S1；（D）不确定。

二、填空题

7. 已知：a?4?2?，那么331?2?3＝________。 aaa

8. 如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8，BC＝62，∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，

则梯形ABCD的面积等于________。

1

9. 已知关于x的方程(a?1)x2?2x?a?1?0的根都是整数，那么符合条件的整数有

________个。

10. 如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4

米、6米的A、C处，向两侧地面上的E、D；B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为________米。

11. 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线y?

好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么b＝________。

12. 某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4％，使得利润率增加了8个

销售价?进价百分点，那么经销这种商品原来的利润率是_______。（注： 利润率??100%）

进价1x?b恰3

三、解答题

13. 设m是不小于-1的实数，使得关于x的方程x2?2(m?2)x?m2?3m?3?0有两个

不相等的实数根x1，x2。

（1）若x1?x2?6，求m的值。

2mx12mx2（2）求的最大值。 ?1?x11?x222

2

14. 如图：已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE＝

EC，AB＝2AE，且BD＝23，求四边形ABCD的面积。

15. 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2

层至第33层中的某一层停一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意。现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）

3

2000年全国初中数学竞赛试题解答

一、选择题（只有一个结论正确）

1. 设a,b,c的平均数为M，a,b的平均数为N，N，c的平均数为P，若a?b?c，则M

与P的大小关系是（ ）。

（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。

答：（B）。∵M

＝，N

＝，P

＝，M－P

＝，∵，∴＞，即M－P＞0，即

M＞P。

2. 某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米（b?a），

再前进c千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（ ）。

答：（C）。因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后S的变化，但没有表示消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C）正确地表述了题意。

3. 甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）。

（A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲大5岁。 答：（A）。由题意知3×（甲－乙）＝25－10，∴甲－乙＝5。

4. 一个一次函数图象与直线y?595x?平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且44

过点（－1，－25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）。

（A）4个；（B）5个；（C）6个；（D）7个。

答：（B）。在直线AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是＝－1＋4N，＝－25＋5N，（N是整数）．在线段AB上这样的点应满足－1＋4N＞0，且－25＋5N≤0，∴

N＝1，2，3，4，5。

5. 设a,b,c分别是△ABC的三边的长，且≤N≤5，即aa?b?，则它的内角∠A、∠B的关系ba?b?c

是（ ）。

（A）∠B＞2∠A；（B）∠B＝2∠A；（C）∠B＜2∠A；（D）不确定。

4

答：（B）。由得，延长CB

，在△ABC与△至D，使BD＝AB，于是CD＝

DAC中，∠C为公共角，且BC:AC＝AC:DC，∴△ABC

∽△DAC，∠BAC＝∠D，∵∠BAD＝∠D，∴∠ABC＝

∠D＋∠BAD＝2∠D＝2∠BAC。

6. 已知△ABC的三边长分别为a,b,c，面积为S，?A1B1C1的三边长分别为a1,b1,c1，

面积为S1，且a?a1b?b1,c?c1，则S与S1的大小关系一定是（ ）。

（A）S＞S1；（B）S＜S1；（C）S＝S1；（D）不确定。

答：（D）。分别构造△ABC与?A1B1C1如下：①作△ABC∽?A1B1C1，显

然

，即S＞S1；②设

，则，S＝10

，

，则S1＝

则，S＝10，×100＞10，即S＜S1；③设，则，，S1＝10，即S＝S1；因此，S与S1的大小关系不确定。

二、填空题

7. 已知：a?4?2?，那么331?2?3＝________。 aaa

答：

∵，

即。

∴

8. 如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8，BC＝62，∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，

则梯形ABCD的面积等于________。

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