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dynshw1

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上传时间:2015-04-29
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dynshw1

HomeworkDynamicalSystems

DepartmentofElectricalEngineering

Set1

1Fixedpointsandstability

Inacombustionmodelthe(normalized)concentrationattimet,sayx(t),ofoneofthereactantsisdescribedbythedifferentialequation

x˙=x2(1 x)

a.Determinethe xedpointsofthismodel

b.Verifythestabilityofthe xedpoints

c.Concentrationsarepositivequantities.Provethatsolutionsx(t)>0foralltimet>0whenevertheinitialconditionx(0)=εwithε>0suf cientlysmall.

d.UseMatlabtocomputeanumberoftrajectoriesofthismodel.Plotforvarioussmallinitialconcentrationsx(0)=x0>0thesolutionx(t)of(1)onasuf cientlylargetimeinterval.Whatcanyouconcludeabouttheasymptoticbehaviorofsolutions?(1)

2Stabilityveri cation

Foreachofthefollowingdynamicalsystems,assessthestabilitypropertiesoftheir xedpoints.a.x˙=x+4x3

b.x˙=e xsin(x)

c.x˙=x(1 x)(2 x).

d.x˙=ln(x)2

3Discretetimesystems

Weintroducedde nitionsof xedpointsandstabilityof xedpointsforautonomousdifferential owsoftheformx˙=f(x).Nowconsiderthediscretetime ow

x(k+1)=f(x(k)),k=0,1,2,...(2)a.Proposeasuitablede nitionofa xedpointx ofthediscrete ow(2).

b.Proposeasuitablede nitionofstabilityofa xedpointofthediscrete ow(2)

c.Canyouderivesuf cientconditionsonftoverifythestabilityofa xedpointx of(2)?

d.Considerthediscretesystem

1x(k+1)=1 x(k)2 x(k),2k=0,1,2,...

Determineits xedpointsandassessthestabilitypropertiesofthe xedpoints.

1

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