dynshw1
HomeworkDynamicalSystems
DepartmentofElectricalEngineering
Set1
1Fixedpointsandstability
Inacombustionmodelthe(normalized)concentrationattimet,sayx(t),ofoneofthereactantsisdescribedbythedifferentialequation
x˙=x2(1 x)
a.Determinethe xedpointsofthismodel
b.Verifythestabilityofthe xedpoints
c.Concentrationsarepositivequantities.Provethatsolutionsx(t)>0foralltimet>0whenevertheinitialconditionx(0)=εwithε>0suf cientlysmall.
d.UseMatlabtocomputeanumberoftrajectoriesofthismodel.Plotforvarioussmallinitialconcentrationsx(0)=x0>0thesolutionx(t)of(1)onasuf cientlylargetimeinterval.Whatcanyouconcludeabouttheasymptoticbehaviorofsolutions?(1)
2Stabilityveri cation
Foreachofthefollowingdynamicalsystems,assessthestabilitypropertiesoftheir xedpoints.a.x˙=x+4x3
b.x˙=e xsin(x)
c.x˙=x(1 x)(2 x).
d.x˙=ln(x)2
3Discretetimesystems
Weintroducedde nitionsof xedpointsandstabilityof xedpointsforautonomousdifferential owsoftheformx˙=f(x).Nowconsiderthediscretetime ow
x(k+1)=f(x(k)),k=0,1,2,...(2)a.Proposeasuitablede nitionofa xedpointx ofthediscrete ow(2).
b.Proposeasuitablede nitionofstabilityofa xedpointofthediscrete ow(2)
c.Canyouderivesuf cientconditionsonftoverifythestabilityofa xedpointx of(2)?
d.Considerthediscretesystem
1x(k+1)=1 x(k)2 x(k),2k=0,1,2,...
Determineits xedpointsandassessthestabilitypropertiesofthe xedpoints.
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