简谐振动曲线

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上传时间：2015-04-29
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简谐振动曲线

简谐振动曲线

工科物理1998年第8卷第6期23

简谐振动曲线

陈凤至

(浙江大学物理系,杭州　310027)

(收稿日期:1998-04-03)

摘　要　本文求出了一种曲线,质点在其上可以作大幅度的谐振动.关键词　谐振曲线;简谐振动

THECURVESONWHICHAPOINTMASSOSCILLATES

HARMONICALLY

ChenFengzhi

(DepartmentofPhysics,ZhejiangUniversity,Hangzhou310027)

Abstract　Inthispaper,wefindanexplicitexpressionforthecurvesonwhichapointmassoscillatesharmonically.Wediscussalsothefeaturesofthecurves.KeyWords　harmoniccurve;simpleharmonicoscillation　　众所周知,单摆的小角度振动是简谐振动.同样地,小球在位于竖直平面内的圆弧上的振动也是简谐振动,只要小球的振幅足够地小.对于后一情形,我们自然会想到一种推广,即可否找到一种曲线,小球在其上的振动不论其振幅如何都是精确的简谐振动.本文的目的就是要寻找这样的曲线.为简便起见,我们称之为简谐振动曲线.

首先我们分析一下简谐振动曲线的定性特征.我们知道,对于简谐振动,恢复力与离平衡位置的弧长成正比.在我们的情形,恢复力为mgsinA,这里m是小球的质量,A是曲线的切线相对于水平方向的倾角.因此,A随离原点的弧长增大而增大.由于斜率等于tgA,所以该曲线的斜率(绝对值)必须随离平衡位置的弧长而增大.再者,在平衡位置的两侧的恢复力是对称的.因此该曲线必须关于通过平衡点的竖直线是对称的.现在我们取

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,x竖直线为y轴.对于这一坐标系,简谐振动曲线满足如下的初始条件:

当x=0时,　y=0,　y′=0(1)导致条件y′=0的理由是:当小球处于平衡位置时恢复力为零,所以曲线的切线是水平的.在我们选取的坐标系中,由于斜率的绝对值随离原点的弧长而增大,可知对曲线上的所有点有y>0.

再来求决定该曲线的微分方程.由于曲线的切线的斜率为y′=tgA,恢复力可改写为

/1+y′.另一方面,曲线上一点到f=mgy′原点的弧长为

∫

1+y′dx.作简谐振动的

物体,其恢复力必须与弧长成正比,故有

mgy′/

1+y′=k

∫

1+y′dx(2)

这里k是比例系数.求(2)式对x的导数,再

作一些整理,得

y″=B(1+y′)

(3)

简谐振动曲线

微分方程.

现在求解微分方程(3).令y′=z,(3)式可改写为

22zdy=B(1+z)

上式的解为

=-2By+C(4)1+z

利用初始条件(1)可得C=1.于是(4)式变为

=1-2By

1+z将z=y′代入(5)式,并作一些变换,得

y′=±

1-2By

(6)(5)

工科物理1998年第8卷第6期

(7).最后要指出,由于(8)式中含有反正切函数,如果(x,y)满足(8)式,则(x+kP,y)也满足(8)式.因此,(8)式所代表的曲线是周期曲线,如图2所示.

表1

yxyx

0.01

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.2000.6220.8641.0381.1751.2850.6

0.7

0.8

0.9

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3761.4491.5071.5491.571

正负号对应于曲线在+x轴和-x轴上的分枝.由于曲线关于y轴的对称性,我们只须求曲线在+x轴的分枝.求解方程(6),得

2Bx=

2Bx(1-2By)-arctg

(7)

图1

+2By2

这里我们已用了初始条件(1).

解(7)的形式非常复杂,很难由它设想出曲线的形状.为了了解曲线的特征,我们来考

虑(7)式中的一条曲线,即B=时的曲线:

2x=

y(1-y)-arctg

+y2

(8)

由上式可见0≤y≤1.令y由0变到1,并利

用(8)式算出x的值,得表1.对应的图象即图1中的OA段.由曲线的对称性可得曲线在-x轴上的分枝,即OB段.由曲线的形状可知,小球的振幅不能任意大,它必须小于某个定值.从物理上看,这是合理的,因为如果小球到达A点速度还不为零,它将作上抛运动(A点的切线是竖直的).还要指出,在曲线(8)上滚动的小球的质量是固定的,它等于2k/g.因此,对于质量不等于2k/g的小球,要采用不同的曲线.当然,这些曲线都属于解

图2

　　总之,我们寻找的曲线——简谐振动曲线是存在的,而且是简单的初等函数.我们完全可以作出一个这样的曲线模型,用以演示小球的简谐振动.这种模型所演示的简谐振动是精确的,而且不必把振动限制在小振幅的范围内.

(全文完)