简谐振动曲线
简谐振动曲线
工科物理1998年第8卷第6期23
简谐振动曲线
陈凤至
(浙江大学物理系,杭州 310027)
(收稿日期:1998-04-03)
摘 要 本文求出了一种曲线,质点在其上可以作大幅度的谐振动.关键词 谐振曲线;简谐振动
THECURVESONWHICHAPOINTMASSOSCILLATES
HARMONICALLY
ChenFengzhi
(DepartmentofPhysics,ZhejiangUniversity,Hangzhou310027)
Abstract Inthispaper,wefindanexplicitexpressionforthecurvesonwhichapointmassoscillatesharmonically.Wediscussalsothefeaturesofthecurves.KeyWords harmoniccurve;simpleharmonicoscillation 众所周知,单摆的小角度振动是简谐振动.同样地,小球在位于竖直平面内的圆弧上的振动也是简谐振动,只要小球的振幅足够地小.对于后一情形,我们自然会想到一种推广,即可否找到一种曲线,小球在其上的振动不论其振幅如何都是精确的简谐振动.本文的目的就是要寻找这样的曲线.为简便起见,我们称之为简谐振动曲线.
首先我们分析一下简谐振动曲线的定性特征.我们知道,对于简谐振动,恢复力与离平衡位置的弧长成正比.在我们的情形,恢复力为mgsinA,这里m是小球的质量,A是曲线的切线相对于水平方向的倾角.因此,A随离原点的弧长增大而增大.由于斜率等于tgA,所以该曲线的斜率(绝对值)必须随离平衡位置的弧长而增大.再者,在平衡位置的两侧的恢复力是对称的.因此该曲线必须关于通过平衡点的竖直线是对称的.现在我们取
内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看,x竖直线为y轴.对于这一坐标系,简谐振动曲线满足如下的初始条件:
当x=0时, y=0, y′=0(1)导致条件y′=0的理由是:当小球处于平衡位置时恢复力为零,所以曲线的切线是水平的.在我们选取的坐标系中,由于斜率的绝对值随离原点的弧长而增大,可知对曲线上的所有点有y>0.
再来求决定该曲线的微分方程.由于曲线的切线的斜率为y′=tgA,恢复力可改写为
/1+y′.另一方面,曲线上一点到f=mgy′原点的弧长为
∫
x
1+y′dx.作简谐振动的
物体,其恢复力必须与弧长成正比,故有
mgy′/
1+y′=k
∫
x
1+y′dx(2)
这里k是比例系数.求(2)式对x的导数,再
作一些整理,得
22
y″=B(1+y′)
(3)
简谐振动曲线
24
微分方程.
现在求解微分方程(3).令y′=z,(3)式可改写为
22zdy=B(1+z)
上式的解为
=-2By+C(4)1+z
利用初始条件(1)可得C=1.于是(4)式变为
=1-2By
1+z将z=y′代入(5)式,并作一些变换,得
y′=±
1-2By
(6)(5)
工科物理1998年第8卷第6期
(7).最后要指出,由于(8)式中含有反正切函数,如果(x,y)满足(8)式,则(x+kP,y)也满足(8)式.因此,(8)式所代表的曲线是周期曲线,如图2所示.
表1
yxyx
0.01
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.2000.6220.8641.0381.1751.2850.6
0.7
0.8
0.9
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正负号对应于曲线在+x轴和-x轴上的分枝.由于曲线关于y轴的对称性,我们只须求曲线在+x轴的分枝.求解方程(6),得
2Bx=
2Bx(1-2By)-arctg
(7)
图1
+2By2
这里我们已用了初始条件(1).
解(7)的形式非常复杂,很难由它设想出曲线的形状.为了了解曲线的特征,我们来考
虑(7)式中的一条曲线,即B=时的曲线:
2x=
y(1-y)-arctg
+y2
(8)
由上式可见0≤y≤1.令y由0变到1,并利
用(8)式算出x的值,得表1.对应的图象即图1中的OA段.由曲线的对称性可得曲线在-x轴上的分枝,即OB段.由曲线的形状可知,小球的振幅不能任意大,它必须小于某个定值.从物理上看,这是合理的,因为如果小球到达A点速度还不为零,它将作上抛运动(A点的切线是竖直的).还要指出,在曲线(8)上滚动的小球的质量是固定的,它等于2k/g.因此,对于质量不等于2k/g的小球,要采用不同的曲线.当然,这些曲线都属于解
图2
总之,我们寻找的曲线——简谐振动曲线是存在的,而且是简单的初等函数.我们完全可以作出一个这样的曲线模型,用以演示小球的简谐振动.这种模型所演示的简谐振动是精确的,而且不必把振动限制在小振幅的范围内.
(全文完)
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