第五、六届“希望杯”全国数学邀请赛

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希望杯第五届(1994年)初中二年级第一试试题 选择题:（每小题3分，共30分）

1.使等式 x x成立的x的值是[ ] A．是正数

B．是负数. C．是0

D．不能确定

2．对于三角形的三个外角、下面结论中正确的是 [ ]

A． 可能有两个直角. B．最少有一个锐角. C．不可能有三个钝角. D．最多有一个锐角 3.如果

a

b 22

2=0,那么

b

的值是[ ] a

A.1; B.-1;

-5.

4．已知线段a,b,c的长度满足a＜b＜c，那么以a,b,c组成的三角形的条件是 [ ]

A．c-a＜b B．2b＜a+c. C．c-b＞a D．b＜ac 5．有如下命题： ①负数没有立方根．

②一个实数的立方根不是正数就是负数．

③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0． ④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1或0． 其中错误的是 [ ]

A．①②③ B．①②④. C．②③④ 6.若实数x、y满足x+y-4x-2y+5=0,

2

2

2

D．①③④

的值是[ ]

A.1; B.

3

3

3 . 2

B．180. C．32 D．30

7．直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条直角边的长度是13，那么它的周长为[ ] A．182

8．已知方程x2-x-1994=19942，那么它的两根是 [ ] A．1994,1995 B．-1994,1995. C．-1994,-1995

D．1994,-1995

9．如图16，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A的大小是 [ ] A．70° B．75°. C．80° D．85° 10．n是整数，下列四式中一定表示奇数的是 [ ]

A．(n+1)2 B．(n+1)2-(n-1)2. C．(n+1)3 .D．(n+1)3-n3 一、

A组填空题（每小题3分，共30分）

1.设

则A、B中数值较小的是_________. 2．已知实数a满足

那么丨a-1丨+丨a+1丨=_________

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3.一个角的余角比它的补角的

1

还多60,则这个角的度数是_________. 7

4.

,结果是__________. 5.某自然数的5倍等于数a的立方,该自然数的

1

恰是数a,则这个自然数是_________. 5

6．在△ABC中,∠ABC=90°,又BD⊥AC于D，则在△ABC中互为余角的角共有______对． 7．如图17，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=AE，BC=BD，则∠ACD+∠BCE=______． 8.当

时,多项式x3+5x2-2x-5的值是_______________.

9．如图18，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是角A的平分线，DE平分∠ADC交AC于E，则∠BDE=_______．

10.

的小数部分是a,而二、 1.设

1

的小数部分是b,那么b=________. a

B组填空题（每小题4分）

+┉

NN=1-2+3-4+5-6+┉+1993-1994,则=_______.

(M 1)2

2．在四边形ABCD中(图19)，AB∥CD，∠D=2∠B，AD和CD的长度 分别为a和b，那么AB的长为______．

x2 y2

3.设

则 xy=_________.

2

4．如图20，在△ABC中，AD平分∠A，BD⊥AD，DE∥AC交AB于E， 若AB=5，则DE的长是______．

5.计算

6．设方程x2+1993x-1994=0和(1994x)2-1993×1995x-1=0的较小根次是α,β，则α·β=______． 7.若

2

21

x ,

5x化简为_________. 32

8.设M,x,y均为正整数,

则x+y+M的值是_______.

9．x为任意实数，则|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|的最小值是______． 10．如图21，△ABC为等腰直角三角形，D为AB中点，AB=2，扇形ADG和BDH分别是以A,B为圆心,AD,BD为半径的圆的

1

,则阴影部分面积为_______.

4

第六届(1995年)初中二年级第一试试题

一、选择题: 1.下列五个数

:3.1416,A．0个 2.-

1

1,其中是有理数的有[ ]

B．1个 C．2个 D．3个

1

的平方的立方根是[ ] 8

111

A.4; B.; C.-; D..

844

3．适合不等式2x-1＞-3x+14≥4x-21的x的值的范围是 [ ] A．x＞3. B．x≤5. C．3＜x≤5

D．3≤x＜5

aa2a3

3的值是[ ] 4.已知a是非零实数,则

aa2a

A．3或-1 B．-3或1. C．3或1 D．-3或-1

5．若a，b，c为三角形的三条边长，则-(a+b+c)+│a-b-c│-│b-c-a│+│c-b-a│=[ ] A．2(a-b-c) B．2(b-a-c). C．2(c-a-b) [ ]

A．50° B．60°. C．70° D．80°

7．已知实数a、b满足条件a2+b2+a2b2=4ab-1，则 [ ]

D．2(a+b-c)

6．如图19，已知△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于D，∠D=40°，则∠A=

a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1

A. ; B. 或 ; C. 或 ; D. .

b 1b 1b 1b 1b 1b 1

8．某项工程，甲单独做需a天，在甲做了c天(c＜a)后，剩下工作由乙单独完成还需b天，若开始就由甲、乙两人共同合做，则完成任务需[ ]天 A.

caba b cbc

; B.; C.; D.. a ba b c2a b c

9．如图20，在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点， 则PA2+PB·PC的值为[ ] A．m. B．m+1. C．2m. D.(m+1)

10．如图21，△ABC的面积为18cm2，点D、E、F分别位于AB、BC、CA上．且AD=4cm，DB=5cm．如果△ABE的面积和四边形DBEF的面积相等，则△ABE的面积是 [ ]

A．8cm. B．9cm. C．10cm. D．12cm 二、A组填空题: 1.化简

2

2

2

2

2

2

2

2.

=_________. 2

2

11 2计算: 10 0.001 0.01 10 =__________. 1001000

3．化简1+x+x(1+x)+x(1+x)+ +x(1+x)

2

2

21995

，得到_____．

4．若n满足(n-1994)+(1995-n)=1，则(1995-n)·(n-1994)_____． 5．如图22,已知△ABC中，∠ACB＞90°，∠B=25°，CD⊥BC于点C，BD=2AC，点E在BC的延长线上，则∠ACE的大小是______．

6．在一个凸n边形(n＞3)的n个外角中，其中最多有_____个钝角． 7．如图23，沿AE折叠长方形ABCD，使D点落在BC边的点F处，若AB=12cm，BC=13cm，则FC的长度是______．

8．已知a，b，c，d是四个不相等的正数，其中a最大,d最小,且满足条件则a+d与b+c的大小关系为_____________. 9.若方程

ac

,bd

x bx a

2 有唯一解,则a与b应满足的条件是____________. ab

10．有5根木条，其中2根完全相同，长8cm，另外三根分别长4cm，10cm，12cm，用其中三根组成一个三角形，则选择的办法有______种． 三、B组填空题

1． 一个自然数n减去59之后是一个完全平方数，加上30之后仍是一个完全

平方数，则n=_____．

2．已知x是实数，并且x3+2x2+2x+1=0，则x1994+x1997+x2000的值是_____． 3．如图24，△ABC中，∠C=90°，DE是AB的中垂线，AB=2AC， 且BC=18cm，则BE的长度是_____．

4．如图25，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D， DE⊥AB于E，且AB=10cm，则△DEB的周长是_____． 5.已知

那么x4-8x3+16x2-x+1的值是_______.

14323

7.已知:,则(y-x)的值是_______.

x 2yy x2x 13

8．已知a，b，c，d是四个两两不等的正整数，它们的乘积abcd=1995，则a+b+c+d的最大值是_____．

9．如图26，ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，AB∶AD=2∶3，∠BAD=2∠ABC，则FC∶FD=_____． 10．如图27，两圆半径均为1，且图中两块阴影部分的面积相等，那OO1的长度是_____．

答案·提示

一、选择题

提示：

1．根式内≥0，∴x≤0；又等式右端x≥0，所以使等式成立的x的值只能是0．∴选(C)． 2．由于三角形的三个内角最多只能有一个钝角或者直角，所以它的三个外角中，不可能有两个直角，可能有三个钝角（此时三角形的三个内角均为锐角）。否定了(A)，(B)，(C)．故应选(D)．

4．解一：可用特殊值法，不妨设a=2，b= 4，c=5，显然a＜b＜c，且组成三角形．分别代入(A)，(B)，(C)，(D)．则仅有A成立．所以选(A)．

解二：(A)满足“三角形两边之和大于第三边”．肯定成立，故选(A)．

5．负数有立方根，0的立方根是0，又-1的立方根也是-1，所以错误命题是①②④，应选(B)．

7．设另一条直角边的长度为x，斜边的长度

8．原方程可化为x-x-1994(1+1994)=0，即x-x-1994×1995=0，于是由韦达定理推知，方程的两根为1995，-1994，应选(B)．

9．解一：如图22，连接BC，设∠DBC=α，∠DCB=β，∠DBG=∠1，∠DCG=∠2，则α+β+∠BDC=180°．

∴α+β=180°-140°=40°

在△BGC中α+∠1+β+∠2+∠BGC=180° ∴∠1+∠2=180°-110°-(α+β)=30° 在△BAC中∠EAF+2(∠1+∠2)+α+β=180°

∴∠EAF=180°-2×30°-40°=80°．∴应选(C)． 解二：如图23延长BD分别交FC，AC于H，K．

设∠GBD=∠1，∠DCG=∠2，∠BDC=α，∠BGC=β，∠DHC=r． ∵α=r+∠2，r=β+∠1

∴α=β+∠1+∠2得∠1+∠2=140°-110°=30° 同理可推得β=∠A+∠1+∠2∴∠A=80°．应选(C)．

2

2