五年级奥数专题二十：多边形的面积

上传者：刘鸿儒
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上传时间：2015-05-04
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五年级奥数专题二十：多边形的面积

五年级奥数专题二十:多边形的面积

关键词：多边正方面积边长周长多边形奥数正方形之和厘米

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我们已经学习过三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形以及圆、扇形等基本图形的面积计算，图形及计算公式如下：

正方形面积=边长×边长=a2，

长方形面积=长×宽=ab，

平行四边形面积=底×高=ah，

圆面积=半径×半径×π=πr2，

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扇形面积=半径×半径×π×圆心角的度数÷360°

在实际问题中，我们遇到的往往不是基本图形，而是由基本图形组合、拼凑成的组合图形，它们的面积不能直接用公式计算。在本讲和后面的两讲中，我们将学习如何计算它们的面积。

例1 小两个正方形组成下图所示的组合图形。已知组合图形的周长是52厘米，DG=4厘米，求阴影部分的面积。

分析与解：组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为CG部分重合了。用组合图形的周长减去DG，就得到大、小正方形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长之和等于（52-4）÷3=16（厘米）。

又由两个正方形的边长之差是4厘米，可求出

大正方形边长=（16+4）÷2=10（厘米），

小正方形边长=（16-4）÷2=6（厘米）。

两个正方形的面积之和减去三角形ABD与三角形BEF的面积，就得到阴影部分的面积。

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102+62-（10×10÷2）-（10+6）×6÷2=38（厘米2）。

例2如左下图所示，四边形ABCD与DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等。

分析与证明：这道题两个平行四边形的关系不太明了，似乎无从下手。我们添加一条辅助线，即连结CE（见右上图），这时通过三角形DCE，就把两个平行四边形联系起来了。在平行四边形ABCD中，三角形DCE的底是 DC，高与平行四边形ABCD边DC上的高相等，所以平行四边形ABCD的面积是三角形DCE的两倍；同理，在平行四边形DEFG中，三角形DCE的底是 DE，高与平行四边形DEFG边DE上的高相等，所以平行四边形DEFG的面积也是三角形DCE的两倍。

两个平行四边形的面积都是三角形DCE的两倍，所以它们的面积相等。

例3如左下图所示，一个腰长是20厘米的等腰三角形的面积是140厘米2，在底边上任意取一点，这个点到两腰的垂线段的长分别是a厘米和b厘米。求a+b的长。

分析与解：a，b与三角形面积的关系一下子不容易看出来。连结等腰三角形的顶点和底边上所取的点，把等腰三角形分为两个小三角形，它们的底都是20厘米，高分别为

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a厘米和b厘米（见右上图）。大三角形的面积与a，b 的关系就显露出来了。根据三角形的面积公式，两个小三角形的面积分别为 20×a÷2和20×b÷2。

因为这两个小三角形的面积之和等于原等腰三角形的面积，所以有

20×a÷2+20×b÷2=140，

10×（a+b）=140，

a+b=14（厘米）。

在例2、例3中，通过添加辅助线，使图形间的关系更清晰，从而使问题得解。下面再看一例。

例4如左下图所示，三角形ABC的面积是10厘米2，将AB，BC，CA分别延长一倍到D，E，F，两两连结D，E，F，得到一个新的三角形DEF。求三角形DEF的面积。

分析与解：想办法沟通三角形ABC与三角形DEF的联系。连结FB（见右上图）。因为CA=AF，所以三角形ABC与三角ABF等底等高，面积相等。因为AB=BD，所以三角形ABF与三角形BDF等底等高，面积相等。由此得出，三角形ADF的面积是10+10=20（厘米2）。