量子力学第一次参考答案

西南大学

量子力学第一次作业题目

第一章 绪论

1.2 在0K附近，Na的价电子能量约3电子伏，求德布罗意波长。

1.3 氢原子的动能 E=3kT/2，求T=1K时的德布罗意波长。

第二章 波函数和薛定谔方程

2.1 证明在定态中，几率流密度与时间无关。

2.3 一粒子在一维势场

???U(x)??0

???x?00?x?a0 x?a

中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是A??1

a 。

2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。

参考答案

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2.1 证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令

???(r，t)??(r)f(t)

i???Et ??(r)e

?i? J?(???*??*??)2m

iiii?Et?Et???Et???Et*?i?*? ?[?(r)e?（?(r)e）??(r)e??（?(r)e?）]2m

????i? ?[?(r)??*(r)??*(r)??(r)]2m

? 可见J与t无关。

2.3 一粒子在一维势场

??，x?0? 0?x?a U(x)??0，

??，x?a?

中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

解：U(x)与t无关，是定态问题。其定态S—方程

?2d2

?(x)?U(x)?(x)?E?(x) ?2mdx2

在各区域的具体形式为

?2d2

??1(x)?U(x)?1(x)?E?1(x) ① Ⅰ：x?0 22mdx

?2d2

?2(x)?E?2(x) ② Ⅱ： 0?x?a ?2mdx2

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?2d2

??3(x)?U(x)?3(x)?E?3(x) ③ Ⅲ：x?a 2mdx2

由于(1)、(3)方程中，由于U(x)??，要等式成立，必须 ?1(x)?0 ?2(x)?0 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。

方程(2)可变为d2?2(x)

dx2?2mE?2?2(x)?0

令k2?2mE

?2，得

d2?2(x)?k2

dx2?2(x)?0

其解为 ?2(x)?Asinkx?Bcoskx ④ 根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得 ?2(0)??1(0) ⑤

?2(a)??3(a) ⑥

⑤ ?B?0 ⑥

?A?0

?sinka?0

?ka?n? (n ? 1, 2, 3,?)

∴?n?

2(x)?Asinax

由归一化条件

?(x)2dx?1

得 A2?a

sin2n?

0axdx?1

a

由 ?m?

bsinax?sinn?a

axdx?2mn ?Asinka?0

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?A?

2a

2n?sixaa ??2(x)?

?k2?2mE

?2

2 ?En??2?2

n2 (n?1,2,3,?)可见E是量子化的。 2ma

对应于En的归一化的定态波函数为

?2

?x,t)???asinn?i

xe??Ent, 0?x?a

n(

?a

? 0, x?a, x?a

2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是A??1

a ?

证：??A?sinn?(x?a),x?a

n??a

?? 0, x?a

由归一化，得

1??2a

ndx??A?2sin2n?

??aa(x?a)dx

?A?2?a1

?a2[1?cosn?

a(x?a)]dx

?A?2a

x?A?2n?

2

?a2?a?acosa(x?a)dx

?A?2a?A?2an?a

2?n?sina(x?a)

?a

?A?2a

∴归一化常数A??1

a

2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。

?12

解：?(x)??2?xe2x2

2 2.6-14） （

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?1(x)?1(x)?4?2?

222? ? ?x2e??x2??x2e??222x3

22d?1(x)2?3

?[2x?2?2x3]e??x dx 令d?1(x)?0，得 dx

1x??x??? x?0 ?

x???时，?1(x)?0。 由?1(x)的表达式可知，x?0 ，显然不是最大几率的位置。

d2?1(x)2?3

22223??2x2而?[(2?6?x)?2?x(2x?2?x)]edx2 3224??[(1?5?2x2?2?4x4)]e??x

d2?1(x)4?31 ??2?0 2dx1ex??2

可见x??

1??????是所求几率最大的位置。