初等数学研究

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初等数学研究

从 “一题多解” 谈排列组合中的解题策略

数教081 施梦晓 24号

正确熟练地运用分类计数原理和分步计数原理来分析和解决排列组合的应用题，历来是高中数学教学中的难点，也是高考必考的知识点之一。排列组合应用题的内容比较抽象，题型繁多，灵活多变，解题方法独特，与学生原有的解题经验甚不相同。因此，恰当充分运用一题多解的教学方法，是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好方法。

在学习中，善于运用 “直接法” 和 “排除法” ，或从位置考虑、或从元素考虑，熟悉各种解法，做到胸有成竹，以便教学时有计划有步骤、有目的地启发引导学生积极思考，探讨一题多解。下面举例加以说明。

例 1：有六种不同工作分配给 6 人担任，每个人只担任一种工作，且甲不能担任其中某两种工作，问有几种方法？

解法 1：（元素分析直接法）先满足特殊元素甲，甲能担任的工作有 4 种，先分配甲，分配后，余下工作由其余 5 人分担，有A55种分担方法，故共有分

5配方法数4A5?4?5!=480。

解法 2：（位置分析直接法）先满足特殊 “位置” （甲不能担任的某两种工作），由先除甲之外的 5 人中任选 2 人分别担任甲不能担任的某两种工作，

4有A52种方法，再由其余 4 人（含甲）来分担余下四项工作，有A4种方法，故

4共有分配法数A52A4= （5×4）4!=480。

解法 3：（元素分析排除法）先不考虑限制条件，每人分担一种工作，共有6种方法，而其中包含甲担任了他不能担任的两种工作中的任一种，而其余A6

15五人分担剩下的工作有A2A5种情况，由加法原理（这里实际上用了减法）得共

615有分配方法种数。A6?A2A5=（62）5!=480 -

解法4 ：（位置分析排除法）每人分担种工作，共有种方法，而除甲外的每次任选人分别担任甲能胜任的四工作，留下人（含甲）担任剩下的两种，有2615种方法，故共有分配方法种数：A6A54A2?A2A5=（62）5!=480

6解法5 ：（利用概率论的思想）每人分一种工作，有A6种方法，而甲担任每46??480 一种作的机会是均等的，都是总数的1/6，故有分法种数：A66然后，可将原题的限制条件加上附加件为而乙只能担任该两项工作，那么-

配方法有几种？

4解法：4?2?A4?8?24?192（种）

112解法：（CC1A424）A4=192（种）

112（这里C1C4A2表示先由乙和除甲、乙外的 4 人中任选 1 人分担甲不能担

4任的某两项工作，余下的四项工作包括甲在内的 4人分担，有A4种）

61513114解法3：A6?(C2A5?C4A5)?C2C4A4

1513114114（∵C2A5和C4A5中重复了C2C4A4，故再加上重复减的C2C4A4，这时排除法

因运算偏繁更易出错，故实际解题时并不可取）

当然，对于排列组合问题的解答我们经常遵循的原则是特殊元素优先排、合理分类、准确分步、先选后排、正难则反、相邻捆绑、相间插空、恰当转化等

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