2015年学而思杯6年级真题解析

2015年第五届“学而思杯”

六年级杯赛 命题人：邹家意

总分：150分 时间：90分钟

一、填空题．（每题10分，共80分）

1.

【难度】★★

【考点】计算：分数裂项 【答案】7 【解析】

原式 1

1117193911 1 1 1 1524285660

3 2 53 3 84 3 77 8 415-4 4

3 53 84 77 815 42131311411 4 -

53837487415

1121 34 1131 4 -

33515 77 4488 4 1 1 1 7

2.

【难度】★★

【考点】几何：三视图求表面积 【答案】46

【解析】要让表面积最大，则应该让小正方体块数最多，符合该条件的三视图如下（其中（3）是主视图）：

（1）（2）

2

（3）

易得：这堆木块的表面积最多等于 7 5 7 2 4 2 46cm． 3.

【难度】★★

【考点】应用：浓度问题 【答案】480 【解析】

对于此类问题，不管两者浓度是多少，都可直接应用以下公式得出结果： 交换量

甲溶液重量 乙溶液重量

甲溶液重量 乙溶液重量

那么本题结果为

800 1200

480斤．

800 1200

【思考】以上结论该如何证明？ 4.

【难度】★★

【考点】计数：枚举结合几何 【答案】7

【解析】设木棒被截成长度为a厘米，b厘米，c厘米的三段（a,b,c为非零自然数，且

a b c 15，且a b c），要构成三角形，必须满足a b c，则 a,b,c 只有下列7 2,6,7 、 3,5,7 、 3,6,6 、 4,4,7 、 4,5,6 、 5,5,5 ，故有7中不同截法．种可能： 1,7,7 、5.

【难度】★★★

【考点】计数：隔板法 【答案】330 【解析】

由于未知数x1、x2、x3、x4、x5都有可能取0，所以先“借”1给每个未知数，则本题等同（7 5 12）于“将12个相同的苹果分到5个不同的盘中，共有多少种方法”，显然，共有

5 14

C12 1 C11 330种方法，即：该方程有330组不同的自然数解．

6.

【难度】★★★

【考点】几何：风筝模型 【答案】28

【解析】用S表示正方形ABCD的面积，加辅助线如下：

AG

B

H

FDAG

FD

E

E

CBHC

由左图可得：S GBE

3131111

1 S S，S HBE S S， 42852220

3

S

15 ， S220

所以

GMS GBE

HMS HBE

所以S GBM

由右图可得：S BFC

15151319

S GBH S S； 2 1517542136

11111

S，S EFC S S， 223212

1

S 6， S12

所以

BNS BFC

ENS EFC

所以S CNE

所以：S GBM S CNE

11111

S CBE 1 S S； 1 672228

9163 342929S S S S cm2， 136284 34 74 34 734

即：正方形ABCD的面积S 4 7 28cm2． 7.

【难度】★★★

【考点】数论：欧拉公式 【答案】504000 【解析】

由于210 2 3 5 7，根据欧拉公式知：在1至2100的所有自然数中，与210互质的

1 1 1 1

数共有2100 1 1 1 1 480个，其中每2个数作为1组，和为

2 3 5 7 2100，所以总和等于480 2 2100 504000． 8.

【难度】★★★

【考点】几何：蝴蝶模型，鸟头模型 【答案】21 【解析】

F

A

E

D

B

C

由于AE EC，所以 AEC 90 ；

又由于 AEF ECD 90 ，所以 FEC ECD 180 ， 所以有：

S FECFE ECFE

2； S ECDEC CDCD

由于BC EC，所以 BCE 90 ；

又由于 AEF ECD 90 ，所以 FEA BCD 180 ，

S FEAFE EA2 3

3； 所以有：

S BCDCD BC1 2

1

由于EF平行于AC，所以S FEA S FEC 6，所以S BCD S FEA 2；

3

所以S四边形ABDE S四边形ABCE S ECD S BCD 20 3 2 21．

二、解答题．（每题10分，40分）

9.

【难度】★★★

【考点】应用：分数应用题结合数论 【答案】153人 【解析】

10. 【难度】★★★

【考点】计算：比较大小与估算 【答案】218 【解析】

由于

abab

2.3，所以2.25 2.35，即2.25 35 7a 5b 2.35 35，

5757

a

是最简分数，所以a5

即：78.75 7a 5b 82.25，所以7a 5b 79或80或81或82，由于不是5的倍数，即7a 5b 79或81或82： ① 7a 5b 79

a 2 a 7

或 易解得： b 13 b 6

② 7a 5b 81

a 3 a 8

或 易解得：

b 12 b 5

③ 7a 5b 82

a 1 a 6 a 11

或或 易解得： b 15b 8 b 1

综上，a b等于11、15、26、36、40、42或48，即a b的所有可能值之和等于218．

11. 【难度】★★★

【考点】行程：钟面行程 【答案】18点29分0秒 【解析】

设经过标准表上的x小时后，两块表第一次指示相同，则： xx

9 60 5 60x 3 11 60 1 60x 4

27

解得：x 56

56

由于 9 60 5 60 56 3 60 66

2 指示的时刻都是18点29分0秒．

12. 【难度】★★★

【考点】组合：最值原理 【答案】532 【解析】

29，66 24 2 18，所以此时，两块表

经尝试可得结论：只有当n为4的倍数时，连接圆周上的某四个点才能形成正方形；设

n 4k，则圆周上可找到k个不同的正方形，且不共顶点．要保证存在以四个红点为顶

点的正方形，则考虑最不利情况：只有一个正方形的四个顶点全是红色，其余 k 1 个正方形的三个顶点是红色，则有3k 1 400，解得k 133，则n 133 4 532．

三、解答题．（每题15分，共30分）

13. 【难度】★★★★

【考点】组合：极端原理

【答案】见解析 【解析】

设给定的50个非零自然数为a1，a2，，a50，满足a1 a2 令b1 a2 a1，b2 a3 a2,

,b49 a50 a49

a50 425．

从反面来证明，即这50个数两两之差至多有3个相等． 那么以上49个差中任取4个差至多有3个相等， 那么b1 b2

b49 1 1 1 2 2 2 3 3 3

b49 a2 a1 a3 a2

16 16 16 17 425，

另一方面，b1 b2 盾．

因此结论成立．

a50 a49 a50 a1 a50 425，矛