小数奥数第17讲:数阵图(二)
上传者:冯祖洪|上传时间:2015-04-15|密次下载
小数奥数第17讲:数阵图(二)
在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数(其中已填好一个数),使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。
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数阵图(二)
例1在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数(其中已填好一个数),使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。
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解:由上一讲例4知中间方格中的数为7。再设右下角的数为x,然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21,如下图所示填上各数(含x)。
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因为九个数都不大于12,由16-x≤12知4≤x,由x+2≤12知x≤10,即4≤x≤10。考虑到5,7,9已填好,所以x只能取4,6,8或10。经验证,当x=6或8时,九个数中均有两个数相同,不合题意;当x=4或10时可得两个解(见下图)。这两个解实际上一样,只是方向不同而已。
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例2将九个数填入右图的空格中,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等,则一定有
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证明:设中心数为d。由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d。由此计算出第一行中间的数为2d——b,右下角的数为2d-c(见下图)。
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根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到
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在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数(其中已填好一个数),使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。
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3d-c-(2d-b)=3d-a-(2d-c), 3d-c-2d+b=3d-a-2d+c, d——c+b=d——a+c,
2c=a+b, a+b c=2。
值得注意的是,这个结论对于a和b并没有什么限制,可以是自然数,也可以是分数、小数;可以相同,也可以不同。
例3在下页右上图的空格中填入七个自然数,使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90。
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解:由上一讲例4知,中心数为90÷3=30;由本讲例2知,右上角的数为(23+57)÷2=40(见左下图)。其它数依次可填(见右下图)。
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例4在右图的每个空格中填入个自然数,使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等。
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解:由例2知,右下角的数为
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(8+10)÷2=9;由上一讲例4知,中心数为(5+9)÷2=7(见左下图),且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3=21。由此可得右下图的填法。
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在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数(其中已填好一个数),使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。
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例5在下页上图的每个空格中填一个自然数,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。
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解:由例2知,右下角的数为(6+12)÷2=9(左下图)。因为左下图中两条虚线上的三个数之和相等,所以,
“中心数”=(10+6)-9=7。
其它依次可填(见右下图)。
由例3~5看出,在解答3×3方阵的问题时,上讲的例4与本讲的例2很有用处。
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练习17
1.在左下图的每个空格中填入一个数字,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。
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2.在右上图的每个空格中填入一个数字,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于24。
3.下列各图中的九个小方格内各有一个数字,而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等,求x。
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4.在左下图的空格中填入七个自然数,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于48。
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在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数(其中已填好一个数),使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。
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5.在右上图的每个空格中填入一个自然数,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。
6.在右图的每个空格中填入不大于12且互不相同的九个自然数,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。
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答案与提示练习
3.(1)11; (2)9。
提示:(1)右下角的数为(3+7)÷2=5,所以
x=8×2-5=11。
(2)右下角的数为(5+9)÷2=7,中心数为
(6+9)-7=8,所以x=8×2-7=9
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提示:左下角的数为(13+27)÷2=20,中心数为48÷3=16。
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提示:右下角的数为(20+16)÷2=18, 中心数为(8+18)÷2=13。
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在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数(其中已填好一个数),使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。
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提示:与例1类似。
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