小数奥数第17讲：数阵图(二)

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小数奥数第17讲：数阵图(二)

在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数(其中已填好一个数),使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。

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数阵图（二）

例1在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。

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解：由上一讲例4知中间方格中的数为7。再设右下角的数为x，然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21，如下图所示填上各数（含x）。

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因为九个数都不大于12，由16－x≤12知4≤x，由x+2≤12知x≤10，即4≤x≤10。考虑到5，7，9已填好，所以x只能取4，6，8或10。经验证，当x＝6或8时，九个数中均有两个数相同，不合题意；当x＝4或10时可得两个解（见下图）。这两个解实际上一样，只是方向不同而已。

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例2将九个数填入右图的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有

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证明：设中心数为d。由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d。由此计算出第一行中间的数为2d——b，右下角的数为2d-c（见下图）。

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根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到

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在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数(其中已填好一个数),使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。

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3d-c-（2d-b）＝3d-a-（2d-c）， 3d-c-2d＋b＝3d-a-2d＋c， d——c＋b＝d——a＋c，

2c＝a＋b， a＋b c＝2。

值得注意的是，这个结论对于a和b并没有什么限制，可以是自然数，也可以是分数、小数；可以相同，也可以不同。

例3在下页右上图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90。

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解：由上一讲例4知，中心数为90÷3＝30；由本讲例2知，右上角的数为（23＋57）÷2＝40（见左下图）。其它数依次可填（见右下图）。

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例4在右图的每个空格中填入个自然数，使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等。

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解：由例2知，右下角的数为

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（8＋10）÷2=9；由上一讲例4知，中心数为（5＋9）÷2=7（见左下图），且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3=21。由此可得右下图的填法。

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在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数(其中已填好一个数),使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。

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例5在下页上图的每个空格中填一个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。

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解：由例2知，右下角的数为（6＋12）÷2=9（左下图）。因为左下图中两条虚线上的三个数之和相等，所以，

“中心数”＝（10＋6）-9＝7。

其它依次可填（见右下图）。

由例3～5看出，在解答3×3方阵的问题时，上讲的例4与本讲的例2很有用处。

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练习17

1.在左下图的每个空格中填入一个数字，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。

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2.在右上图的每个空格中填入一个数字，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于24。

3.下列各图中的九个小方格内各有一个数字，而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等，求x。

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4.在左下图的空格中填入七个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于48。

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在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数(其中已填好一个数),使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。

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5.在右上图的每个空格中填入一个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。

6.在右图的每个空格中填入不大于12且互不相同的九个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。

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答案与提示练习

3.（1）11；（2）9。

提示：（1）右下角的数为（3+7）÷2=5，所以

x=8×2-5=11。

（2）右下角的数为（5+9）÷2=7，中心数为

（6+9）-7=8，所以x=8×2-7=9

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提示：左下角的数为（13+27）÷2=20，中心数为48÷3=16。

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提示：右下角的数为（20+16）÷2=18，中心数为（8+18）÷2=13。

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在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数(其中已填好一个数),使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。

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提示：与例1类似。

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