清华附中创新班竞赛选修课第二讲有理数

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清华附中创新班竞赛选修课第二讲有理数

数学竞赛选修课

第二讲有理数

（清华附中创新班） 2015.4

1．选择题

(1) 有理数a，b，c在数轴上的位置如右图所示，则acA．－2b B．0 C．2c D．2c－2b

(2) 如图，a、b、c在数轴上的位置分别为点A、点B、点C，其中若acbba（）． bc，那么AC的中点位于（）．

A．A、B之间 B．点B C．B与原点之间 D．不能确定

(3) 已知数轴上三点A、B、C所对应的数a，b，c满足a＜b＜c，abc＜0和a＋b＋c＝0，那么线段AB和BC的大小关系是（）．

A．AB＞BC B．AB＝BC C．AB＜BC D．不能确定

2．写出所有满足|ab|＋|a＋b|＝1的整数对（a，b）．

3．(1) 若x＜0，化简

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xx32xx． (2) 化简2x2x3x5x．

(3) 证明：xy

xy2zxyxy2z4maxx,y,z．

4．任意实数x，用[x]表示不超过x的最大整数， (1) 求[3π]和[－1.7]

(3)2(3)3(3)4(3)2015

]+[][]……[的值． (2) 求[1212312341234……2015

(3) 任意有理数a，求[a]＋[－a]的值． (4) 若有理数a满足a－[－a]＝

17，则a为多少？ 3

5．将－99，－98，…，0，1，2，…，100这200个数任意分为两组，每组100个数．将一组按从小到大的顺序排列，记为a1＜a2＜……＜a100；另一组由大到小的顺序排列，记为b1＞b2＞……＞b100．试求a1b1

a2b2…a100b100的值．

6．若m＜0，n＞0，m

n，且mxnxmn，求x的取值范围．

7．若有理数满足a，b，c，d，满足ab的值．

9，cd16，abcd25，求badc

8．用min(a，b)表示a、b两数中较小者，max(a，b)表示a、b两数中较大者，例如min(3，5)＝3，min(3，3)＝3，max(3，5)＝5，max(5，5)＝5．设a、b、c、d是不相等的自然数，其中，

min(a，b)＝P，min(c，d)＝Q，max(P，Q)＝X；

max(a，c)＝M，max(b，d)＝N，min(M，N)＝Y．

试判断X，Y的大小关系．

9．先阅读下面材料，在解答后面各题．现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分．有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中Q，W，…，N，M这26个字母依次对应1，2，3，…，25，26这26个整数（见下表）：

密文转化的方式为：若字母对应的数x是3的倍数，则变为数x若字母对应的数x除以3余1，则变为数x若字母对应的数x除以3余2，则变为数x例如，将明文转换成密文，如：4为S．

(1) 按上述方法将明文HAK译为密文；

(2) 按上述方法将明文译成的密文为GNU，请找出它的明文．

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对应的字母； 3

17对应的字母； 3x1

8对应的字母．3

111

812，即A变3

1719，即R变为L；113

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