小学六年级奥数系列讲座:最值问题(含答案解析)
上传者:单锦辉|上传时间:2015-04-15|密次下载
小学六年级奥数系列讲座:最值问题(含答案解析)
最值问题
内容概述
均值不等式,即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小.各种求最大值或最小值的问题,解题时宜首先考虑起主要作用的量,如较高数位上的数值,有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的.
典型问题
2.有4袋糖块,其中任意3袋的总和都超过60块.那么这4袋糖块的总和最少有多少块?
【分析与解】 方法一:设这4袋为A、B、C、D,为使4袋糖块的总和最少,则每袋糖应尽量平均,有A、B、C袋糖有20、20、21块糖.
则当A、B、D三袋糖在一起时,为了满足条件,D袋糖不少于21块,验证A、B、C、D这4袋糖依次有20,20,2l,2l时满足条件,且总和最少.
这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块.
方法二:设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖,
?a?b?c?61①?1?a?b?d?61②有?,①+②+③+④得:3(a+b+c+d)≥244,所以a+b+c+d≥81,因为3?a?c?d?61③
??b?c?d?61④
a+b+c+d均是整数,所以a+b+c+d的和最小是82.
评注:不能把不等式列为①0 ?a?b?c?6?+d②60 ?a+b?,?a+c?+d③60 ???d④60 ?b+c+如果这样将①+②+③+④得到
3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80,因为a、b、c、d均是整数,所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况.如何避免,希望大家自己解决.
4.用1,3,5,7,9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE,再用O,2,4,6,8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ.求算式ABC×DE-FGH×IJ的计算结果的最大值.
【分析与解】 为了使ABC×DE-FGH×IJ尽可能的大,ABC×DE尽可能的大,FGH×IJ尽可能的小.
则ABC×DE最大时,两位数和三位数的最高位都最大,所以为7、9,然后为3、5,最后三位数的个位为1,并且还需这两个数尽可能的接近,所以这两个数为751,93.
则FGH×IJ最小时,最高位应尽可能的小,并且两个数的差要尽可能的大,应为468×20.
所以ABC×DE-FGH×IJ的最大值为751×93-468×20=60483.
评注:类似的还可以算出FGH×IJ-ABC×DE的最大值为640×82-379×15=46795.
6.将6,7,8,9,10按任意次序写在一圆周上,每相邻两数相乘,并将所得5个乘积相加,那么所得和数的最小值是多少?
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【分析与解】 我们从对结果影响最大的数上人手,然后考虑次大的,所以我
们首先考虑10,为了让和数最小,10两边的数必须为6和7.
然后考虑9,9显然只能放到图中的位置,最后是8,8的位置有两个位置可放,而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小,所以我们两种情况都计算.
8×7+7×10+10×6+6×9+9×8=312;
9×7+7×10+10×6+6×8+8×9=313.
所以,最小值为312.
8.一个两位数被它的各位数字之和去除,问余数最大是多少?
【分析与解】设这个两位数为ab=lOa+b,它们的数字和为a+b,因为lOa+b=(a+b)+9a,所以lOa+b≡9a(moda+b),
设最大的余数为k,有9a≡k(mod a+b).
特殊的当a+b为18时,有9a=k+18m,因为9a、18m均是9的倍数,那么k也应是9的倍数且小于除数18,即0,9,也就是说余数最大为9;
所以当除数a+b不为18,即最大为17时,
:余数最大为16,除数a+b只能是17,此时有9a=15+17m,有?
(t为可取0的自然数),而a是一位数,显然不满足;
内容需要下载文档才能查看?m=7+9t ?a=15+17t
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:余数其次为15,除数a+b只能是17或16,
除数a+b=17时,有9a=15+17m,有?
显然也不满足;
除数a+b=16时,有9a=15+16m,有??m=6+9t,(t为可取0的自然数),a是一位数,?a=13+17t?m=3+9t(t为可取0的自然数),因为a是一位数,
?a=7+16t
所以a只能取7,对应b为16-7=9,满足;
所以最大的余数为15,此时有两位数79÷(7+9)=4……15.
10.用1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字各一次,组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式,那么这个算式的差最大是多少?
【分析与解】考虑到对差的影响大小,我们先考虑百位数,为了让差最大,被减数的百位为9,减数的百位为1,如果差的百位为8,那算式就是如下形式:剩下的6个数字为2、3、4、5、6、7,因为百位数字为8,所以我们可以肯定被减数的十位数字比减数要大,而且至少大2,因为1已经出现在算式中了,算式的可能的形式如下:
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得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差,或者小1,可能的算式形式如下:
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但这时剩下的数都无法使算式成立.再考虑差的百位数字为7的情况,这时我们可以肯定减数的十位数比被减数要大,为了使差更大,我们希望差值的十位为8,因此,算式可能的形式为:
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再考虑剩下的三个数字,可以找到如下几个算式:
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