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小升初数学完整版圆教材

上传者:李武皋
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上传时间:2015-04-15
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小升初数学完整版圆教材

圆的认识

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与三角形、四边形等一样,圆也是基本的平面图形,是人们生活中常见

的图形,也是“图形与几何”的主要研究对象。本章将在学生前面学习了一些基本的直线形——三角形、四边形等的基础上,进一步研究一个基本的曲线形——圆,探索圆的有关性质,了解与圆有关的位置关系等,并结合一些图形性质的证明,进一步发展学生的逻辑思维能力。圆是常见的几何图形之一,不仅日常生活中有许多圆形物体,而且在工农业生产、交通运输、土木建筑等方面都可以看到圆的形象。圆的有关性质,也被广泛应用。圆也是平面几何中基本的图形之一,它不仅在几何中有重要地位,而且是进一步学习数学以及其他科学重要的基础。圆的许多性质,比较集中地反映了事物内部量变与质变、一般与特殊、矛盾的对立统一等关系。所以本章教学在小学占有重要地位。

教学目标

知识与技能:

(1)了解圆的有关概念,探索并理解垂径定理,探索并认识圆心角、弧、?弦之间的相等关系的定理,探索并理解圆周角和圆心角的关系定理.

(2)探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系:了解切线的概念,?探索切线与过切点的直径之间的关系,能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画圆的切线.

(3)进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算.

(4)熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用;?理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算.

过程与方法:

(1)积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动.了解概念,理解等量关系,掌握定理及公式.

(2)在教学过程中,鼓励学生动手、动口、动脑,并进行同伴之间的交流.

(3)在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中,?让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想.

(4)通过平移、旋转等方式,认识直线与圆、圆与圆的位置关系,?使学生明确图形在运动变化中的特点和规律,进一步发展学生的推理能力.

(5)探索弧长、扇形的面积、?圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意义.

情感、态度与价值观:

经历探索圆及其相关结论的过程,发展学生的数学思考能力;通过积极引导,帮助学生1

有意识地积累活动经验,获得成功的体验;利用现实生活和数学中的素材,设计具有挑战性的情景,激发学生求知、探索的欲望.

圆的特征:圆是由一条曲线围成的封闭图形,圆上任意一点到圆心的距离都相等。

圆规画圆的方法:(1)把圆规的两脚分开,定好两脚间的距离;(2)把有针尖的一只脚固定在一点上;(3)把装有铅笔尖的一只脚绕这个固定点旋转一周,就可以画出一个圆。 圆各部分的名称:圆心用O表示;半径通常用字母r表示;直径通常用字母d表示。 圆有无数条直径,无数条半径;同(或等)圆内的直径都相等,半径都相等。 圆心和半径的作用:圆心确定圆的位置,半径决定圆的大小。

圆的轴对称性:圆是轴对称图形,直径所在的直线是圆的对称轴,圆有无数条对称轴。 同一圆内半径与直径的关系:在同一圆内,直径的长度是半径的2倍,可以表示为d=2r或d。 2

圆的周长的意义:圆的周长是指围成圆的曲线的长。直径的长短决定圆周长的大小。 圆周率的意义:圆的周长除以直径的商是一个固定的数,我们把它叫做圆周率,用字母π表示,计算时通常取3.14.

圆的周长的计算公式:如果用C表示圆的周长,那么C=πd或C=2πr。

圆的周长计算公式的应用:

(1) 已知圆的半径,求圆的周长:C=2πr。

(2) 已知圆的直径,求圆的周长:C=πd。

(3) 已知圆的周长,求圆的半径:r=C?π?2.

(4) 已知圆的周长,求圆的直径:d=C?π。

圆的面积的含义:圆形物体所占平面的大小或圆形物体表面的大小就是圆的面积。

圆的面积计算公式:如果用S表示圆的面积,r表示圆的半径,那么圆的面积计算公式是:S=?r2。

圆的面积计算公式的应用: r=

(1) 已知圆的半径,求圆的面积:S=?r。

(2) 已知圆的直径,求圆的面积:r=d

2?d?S???2??2?,S=?r或

222。 2S???C?2???(3) 已知圆的周长,求圆的面积:r=C?2?π,S=?r或。

圆环的意义:两个半径不相等的圆,当圆心重合时两圆之间的部分;也可以概括说是两个半径不等的同心圆之间的部分。

圆环面积的计算方法:用S表示圆环的面积,圆环的面积计算公式为:S??R2??r2或S???R2?r2?。

圆环面积的计算公式的应用:

(1) 已知外圆半径和内圆半径,求圆环的面积:S??R2??r2或S??R2?r2。

(2) 已知圆环内、外圆的直径,求圆环的面积:S???D?2????d?2?。 一个圆的半径扩大x倍,则直径扩大x倍,周长扩大x倍,面积扩大x²倍。

两个圆半径的比为 m :n,则直径比为m :n,周长比为m :n,面积比为m² :n²。 周长相等的图形中,圆形面积最大。

2

22??

大圆半径是小圆半径的x倍,则大圆直径和周长都是小圆的x倍,大圆面积是小圆的x²倍。 扇形及弧长:

n?Rn?R2

n的圆心角所对的弧长L=及S扇形=的公式的应用. 180360

圆锥侧面展开图的理解. 《嫦娥奔月》故事里面有这样一段:“嫦娥吞下药,身子立时飘离地面、冲出窗口,飞落到离人间最近的月亮上成了仙。”这里的月亮是圆形,我们今天就来学习圆的相关例题。

(知识点一)有关圆面积的求法 例1、学校有一块圆形草坪,它的直径是30米,这块草坪的面积是多少平方米?如果沿着草坪的周围每隔1.57米摆一盆菊花,要准备多少盆菊花?

变式训练

(1)一个圆形花坛的直径是10米,在它的四周铺一条2米宽的小路,这条小路面积是多少平方米?

(2)一个圆形环岛的直径是50米,中间是一个直径为10米的圆形花坛,其他地方是草坪。草坪的占地面积是多少?

例2、一个圆形花坛的直径是10厘米,在它的四周铺一条2米宽的小路,这条小路面积是多少平方米?

变式训练

(1)学校有一块直径是40M的圆形空地,计划在正中央修一个圆形花坛,剩下部分铺一条宽6米的水泥路面,水泥路面的面积是多少平方米?

(2)公园草地上一个自动旋转喷灌装置的射程是10米,它能喷灌多大的范围?

例3、一个圆和一个扇形的半径相等,圆面积是30平方厘米,扇形的圆心角是36度。求扇3

形的面积。

变式训练

一个圆和一个扇形的半径相等,圆面积是30平方厘米,扇形的圆心角是36度。求扇形的面积。

(知识点二)有关圆周长的求法

例4、前轮在720米的距离里比后轮多转40周,如果后轮的周长是2米,求前轮的周长。

变式训练

(1)一辆自行车车轮外直径70厘米,如果平均每分钟车轮转100周,从A到B大约需要25分钟。A到B大约多少千米?

(2)有一个圆环,内圆的周长是31.4厘米,外圆的周长是62.8厘米,圆环的宽是多少厘米?

例5、一个圆形牛栏的半径是15厘米,要用多长的粗铁丝才能把牛栏围上3圈?(接头处忽略不计。)如果每隔2米装一根木桩,大要装多少根木桩?

变式训练

(1)一只大钟的时针长0.3米,这根时针的尖端1天走过多少米?扫过的面积是多少平方米?

(2)一块圆形菜地,直径20米,现在要在菜地上覆盖一层塑料薄膜,至少需要薄膜多少平方米?如果每平方米薄膜价格0.5元,这些薄膜要花多少元?

(知识点三)半径r2替代法

题的特点:一般将正方形,三角形和圆放到一起,一般已知条件是正方形或三角形面积,求圆的面积。

,解法:一般设法求出r,或者求出r2

★注意:园内直角三角形一般为等腰直角三角形,两腰等长,斜边是斜边上高的2倍。 4

例1:已知下图阴影部分面积为8平方米,求圆的面积:

解:由已知条件可得r2 =8,

因此,圆的面积为:?r?3.14?8

例2:ABCD为正方形,已知AC长6m,求阴影部分面积:

解:△ACD为等腰直角三角形,则S△ACD=6*3/2=9㎡

AD=DC=r

AD*DC/2=9

因此,r2 =18, 扇形DAC的面积为:?r/4?3.14?18/4

因此,阴影部分面积为:18-?r/4?3.14?18/4

例3:求圆与圆内最大正方形的面积比值。

解:△ABC为等腰直角三角形,则S△ABC=2r?r/2?r

正方形的面积是两个三角形面积和,为:2r

2 圆的面积为:?r,则圆与圆内最大正方形的比为:?/2 22222

变式训练

1、已知下图阴影部分面积为5平方米,求圆的面积:

2:、在右图扇形中,正方形面积为30平方米,求阴影部分面积:

3:求正方形与正方形内最大圆的面积比值。

(知识点四)图像平移填补法

题的特点:一般圆内由多个阴影部分面积构成,阴影由弧线和弧线构成,或者由弧线和直线构成。

解法:注意观察面积相同的部分,将相同的部分移动替换,

,若遇到轴对称图形可尝试旋转图形,记住常见的面积平移图例。

例1:求阴影部分的面积:

解:正方形外三角形底为6,和正方形内三角形底相同,

由于顶角相同,所以两个三角形可以互换。

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