2015年全国初中数学邀请赛详解
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2015年全国初中数学邀请赛详解
6.
322解:an?n?3n??n?1??3?n?1??3n?3n?2;32
1111?11?2;an?23n?3n3nn?13?nn?1??1?111111?1007原式=??.
内容需要下载文档才能查看?3?233420152016?6048
7.解:由题意可得原方程若仅有唯一的实数解,则x?0;.
将x?
内容需要下载文档才能查看0代入原方程可得a?
内容需要下载文档才能查看;其中a
内容需要下载文档才能查看∴a?8.0
222?????解:原式=?2?x?2??3?y?5??43?z?3??5?60.??????
x??2??∴?y?5,∴x?y?z?0.
?z?3?
9.120???
解:∵AD?CD?BC;
∴设?DAC??DCA?x,?CDB??CBD?y;
则?ADC?180??2x,?DCB?180??2y;
∵?ADB??ACB?180??2x?y??180??2y?x??180?;??
∴x?y?60?;
?DAB??CBA?360???ADC??DCB?2?x?y??120?;
∴?CBA?120???.
10.81解:Snn(n?1),对于2015的任意一个正约数d,易知在1?2015中,2
2015恰有一个n满足n是d的倍数,且n?1是的倍数.即2015的每个约数都会d
2
产生一个n,使得Sn是2015的倍数.由于2015?5?13?31,因此2015共有8个约数,故所求结果为8.
11.解:(1)当PQ∥x轴时,点P与点Q关于y轴对称;
?OPQ为等腰直角三角形,OM?MQ;设Q?m,m?,代入y?x可得,m?1;2
内容需要下载文档才能查看∴OM?m?1;
∴O点到PQ的距离为1;
(2)设P?a,a2?,Q?b,b2?;
则直线PQ的解析式为y?a?b?x?ab;?
直线OP的解析式为y?ax;
直线OQ的解析式为y?bx;
∵OP?OQ;
∴ab??1;
∴直线PQ的解析式为y?a?b?x?1;?
∴直线PQ必过定点M?0,1?;∴当PQ∥x轴时,O点到PQ的距离的最大值为1。
12.解:?x2?5?2x?1??2pn?
显示x2?5>2x?1,2x?1为奇数;x2?5∴为整数;2x?1
1x2x?521?1211?∴2x?12x?12x?142x?14?2x?1??2
∴x可取1,3,10;
内容需要下载文档才能查看3
x?1x?3????验证得:?n?2或?n?2;
?p?3?p?7??
∴x?n?p?6或12.
13.解:延长I1I2分别与BD、AC交于点E、F,设BD、AC相交于点G;11∵?DI1C?90??DAC?90??DAC??DI2C;22
∴D、I1、I2、C四点共圆;
∴?DI1E?180???DI1F??DCI2,?CI2F?180???CI2E??CDI1;
∴?GEF??EDI1??DI1E
??ADI1??ADB??DCI2
1??ADC??BCD???ADB;2?GFE??FCI2??FI2C??BCI2??BCA??CDI11??ADC??BCD???ADB;2∴?GEF??GFE;
∴GE?GF;
∵GI3平分?AGB;
∴GI3?EF。
14.解:如果一共有13个数,则可排列如下:
a1,a2,a3,?,a8,a9,a1,a2,a3,?,a8,a9,
a2,a3,a4,?,a9,a10,a2,a3,a4,?,a9,a10,
a3,a4,a5,?,a10,a11,a3,a4,a5,?,a10,a11,
a4,a5,a6,?,a11,a12,a4,a5,a6,?,a11,a12,
a5,a6,a7,?,a12,a13.a5,a6,a7,?,a12,a13.
由已知,其中每行数之和为正,从而表中所有数之和为正;另一方面,表中每列数之和为负,从而表中所有数之和为负,矛盾。这说明满足要求的数串至多有12项。
考察如下的一串数字:
?4、?4、?4、15、?4、?4、?4、?4、15、?4、?4、?4
这一串数满足题中要求且有12项,故知满足题中要求的n的最大值为12.
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