单级倒立摆的LQR控制和DMC控制Matlab仿真比较_胡蓉

38单级倒立摆的LQR控制和DMC控制Matlab仿真比较

单级倒立摆的LQR控制和DMC控制Matlab仿真比较

ComparisonStudyofLQRControlandDMCControlonSingleInvertedPendulum

胡蓉（广东工程职业技术学院机电工程系，广东广州510520）陶雪华（中原工学院信息商务学院机电工程系，河南郑州451171）

摘

要

建立了单级直线倒立摆的状态空间模型，分别从线性最优二次型(LQR)控制和模型预测控制的原理出发，在MAT-

LAB／SIMULINK环境下，设计了LQR控制器和动态矩阵控制(DMC)控制器，对所建立的倒立摆模型对象进行系统控制仿真。仿真结果表明，作为先进控制的DMC控制的效果比作为最优控制的LQR控制效果更好，鲁棒性更强。

关键词：状态空间模型，LQR控制器，模型预测控制，DMC控制器

Abstract

BasedonthebasicprinciplesofLQRControlandModelPredictiveControl,thepaperintroducestheprocessofLQRcontrollerdesignandDMCcontrollerdesigninMATLAB／SIMULINKenvironmentonasingleinvertedpendulumstate－spacesystemwhichisfirstlygiven．ThesimulationresultsrevealthatDMCcontrollershowsbetterperformancethanLQRcontroller．

Keywords:asingleinvertedpendulum,state－spacesystem,LQRcontroller,modelpredictivecontrol,DMC

controller

固高科技公司［2］从直线倒立摆物理建模和机理建模入手，利用Matlab工具箱详细深入地进行了仿真实验，有效启发了读者对高复杂、非线性系统的控制研究。文献［3］在将近似模型线性化，即摆杆倾斜角是小角度（＜＝10°）的基础上用PID控制和

¨¨－mgl＝mlx（I＋ml）

2

（2）

设，由上述的微分方程模型转化为系统的状态空间方程为：

LQR控制的方法进行了仿真实验，并且取得了较好的控制效

果。文献［1］用PID和LQR两种方法对倒立摆控制对比研究，结果表明LQR要比PID控制效果好，但是由于这两种方法都是线

性控制器，对于像倒立摆这样的非线性、不稳定系统，控制效果上显得有所不足。

本文以一阶直线倒立摆实验对象，首先在Matlab的

Simulink环境下，设计LQR控制器，仿真所建立的倒立摆模型，并对实验结果进行分析，发现LQR控制加权阵Q和R很难确定，二者之间存在相互影响此消彼长的关系。文献［3］也从算法上研究了二者的关系，同样表明，基于精确数学模型的LQR控

制，由于加权阵的选取的随意性，导致很难达到理想的设计要求，因此，本文引入基于近似线性状态空间的动态矩阵控制算法，采用建立预测模型，动态优化参数，反馈校正控制逐步最优的方法，并在Matlab模型预测工具箱环境下进行仿真实验，表现出比LQR方法更好的控制效果。表明，作为先进的过程控制算法的动态矩阵控制，也适用于传统的状态空间模型对象，并且表现出较好的控制效果。

0x000002

－（I＋ml）bmgl00I＋ml

0觶0x0＋00

001000

0000觶00ml－mlbmgl（M＋m）000

0x00觶00x10000x

＝0＋00uY＝0000000100

00觶00

觶000x

0000¨0x00＝觶0000

0000¨0000

2

2

2

0100

00u0000

其中，D＝I（M＋m）＋Mml2。

以下仿真实验中，m＝0．1，M＝1，b＝0．1，l＝0．25，I＝0．0034，

g＝9．8

2LQR控制器设计及Simulink仿真

觶＝AX＋Bu，通过确定根据LQR的原理，针对状态空间方程X

最佳控制量u＝－KX（t）中的反馈增益矩阵K，使得控制性能指标

J＝1

2

乙

∞0

（XQX＋uRu）dt达到极小。其中

TT

Q为半正定实对称矩

阵，R为正定实对称矩阵，Q和R分别为X和的加权矩阵。控制器的设计步骤：

1问题描述

忽略空气阻力和外界摩擦后可以将

单阶倒立摆系统简化为小车和均匀质杆组成的系统，如右图所示。

假设：小车质量M，摆杆质量m，小车摩擦系数b，摆杆转动轴心到杆质心的长度，摆杆惯量I，加在小车上的力F，小车位移

1）解黎卡提方程PA＋AT－PBR－1BP＋Q＝0，求得矩阵P。2）按K＝R－1BTP计算反馈增益矩阵K。3）得到最优控制律u（t）＝－KX（t）。

要求反馈增益矩阵K，首先确定Q和R，它们用于平衡状态

变量和输入量的权重，理论上可以任意选取。

初始情况下假设：

100000Q＝0000000

000

000

，R＝1，在Matlab中运用命令K＝lqr（A，B，Q，1000000

x，摆杆与垂直向上方向的夹角φ，小车位移x，摆杆与垂直向下

方向的夹角θ。

分别对此系统进行垂直方向和水平方和水平方向的受力分析，进行线性化处理：cosθ＝－1，sinθ＝－φ系统运动微分方程为：

¨＋bx觶－ml¨＝u（M＋m）x

（1）

《工业控制计算机》2011年第24卷第8期39

的n步预估值，则预测模型用矩阵表述为：

＾（k＋1）△a△y1△△△a2a1＾（k＋2）△y△△＝△

…………△△△△△anan－1

＾（k＋n）△△y△

y0（k＋1）△△u（k）△△△△

△△y0（k＋2）△△u（k＋1）△△＋△△△△……△△△△△△△u（k＋m－1）△△△an－m＋1△y0（k＋n）△0

R）可首先求出反馈增益矩阵K。在MatlabSimulink中建立仿

真模块进行仿真，初始参考输入阶跃信号，仿真结果（如图2）显示出，小车位移能够跟踪输入信号，研究Q和R发现，随意改变Q和R，摆杆超调量和调整时间都会不断变化，系统产生振荡，当R增大时，被控量幅值显著减小，其对应的动态性能指标有所改善，但不显著；当Q矩阵中某一元素的值增大时，与其对应的动态响应过程好转，系统振荡幅度很大后趋向稳定。手工对Q和R进行优化选择很难达到精确要求。

…

＾＝A△U＋Y，A为常数矩阵，它反映控制对象的动简记为：Y0

态特性。n为最大预测长度，m为控制长度。

（2）优化的DMC闭环控制算法

系统的模型预测是根据动态响应系数和控制增量来决定的，该算法的控制增量是通过二次型指标函数：

J＝Σ［y（k＋j）－T（k＋j）］＋Σλ（j）［△u（k＋j－1）］的最小值来确

j＝1

j＝1

n

2

m

2

定的，以使系统在未来某个时刻的输出值尽可能接近期望值。

指标函数也可简记为：

J＝（Y－W）（Y－W）＋λ△U△U

T

T

＾代替，并令鄣J用Y

T

T

－1

T

＝0，求得：

T

△U＝C（AA＋λI）A（W－Y0），其中C＝［10…0］

（3）误差校正

由于对象及环境的不确定性，在k时刻实施控制作用后，在

图2

LQR控制仿真的输出响应曲线

3基于状态空间的模型动态矩阵控制器设计

3．1动态矩阵控制（DMC）

DMC是模型预测控制领域的一种比较成熟的方法，模型预测控制是自上世纪70年代以来发展起来的一类用被控对象的

方波或阶跃响应的有限序列为模型，预测多步输出并使系统性能指标优化的计算机控制方法。DMC由Culter于1980年提出，已成为模型预测控制方法中重要的应用之一［5］。这种算法由预测模型、滚动优化和反馈校正三部分组成。如图4所示，给出了DMC控制方案，模型的功能在于预测未来的输出值，控制器则决定系统的输出动态特性，而校正器则只有当预测误差存在时才起作用。图中动态预测模型建立了受控过程的预测模型，并且可在线修正，利用预测模型，根据系统当前的输入输出信息，预测未来的输出值。利用预测模型给出的未来一段时间内的输出值，对定义的二次型指标函数进行滚动优化，产生对未来的控制序列，并以第一个控制量进行下一步的控制。

算法步骤如下：（1）预测模型

按照线性叠加原理，将被控系统的输出y（k）表示为单位阶跃响应的有限序列ai和控制输入u（k）的离散折积之和。设在k时刻，系统输出y（k）＝Σai△u（k－i）＋ap△u（k－p），p为模型的时

i＝1p＝1

＾（k＋1）＝y（k＋1）＋a△uk＋1时刻的实际输出y（k＋1）与预测输出y01（k）不一定相等，因此构造预测误差

＾（k＋1）e（k＋1）＝y（k＋1）－y

并用此误差加权后修正对未来其他时刻的预测

＾＝Y＾＋he（k＋1）Ypp

＾＝［y＾（k＋1），y＾（k＋2），…，y＾（k＋p）］T为t＝（k＋1）T时刻经其中，Yp

误差校正后所预测的系统输出；h＝［h1，h2，…，hp］为误差校正

T

＾作为下一时刻的预测初值，由于利用在t＝矢量，经校正后的Yp

（k＋1）T时刻的预测初始值预测t＝（k＋2）T，…，（k＋p＋1）T时刻的输出值，故可令下一时刻的预测初值为：

＾（k＋i＋1）＋he（k＋1）鄣y0（k＋i）＝yi＋1（i＝1，2，…，p－1）鄣

鄣

＾（k＋p）＋he（k＋1）y0（k＋p）＝y鄣p

鄣

通过误差校正，使系统成为一个闭环负反馈系统，对提高系统的性能起了很大的作用。

3．2DMC控制的Matlab实现

基于3．1所述的DMC控制算法，利用Matlab预测控制工具箱来实现对文中提出的直线倒立摆系统的控制。DMC控制器

图3

DMC控制系统框图

的设计主要有两种方法，基于阶跃响应模型的控制器的设计及仿真方法与基于MPCmodel的控制器的设计及仿真方法。

3．2．1系统模型建立与转换

模型预测控制工具箱中使用两种专用的系统模型格式，即

MPC状态空间模型和MPC传递函数模型。因此需要将普通的

状态空间模型和传递函数模型进行转化。

普通状态空间模型转换为MPC状态空间模型函数格式为：pmod＝ss2mod(A,B,C,D,minfo,x0,u0,y0,f0)

普通传递函数模型转换为MPC传递函数模型函数格式为：P＝ploy2tfd(num,den,delt,delay)

域长度，ap为接近稳态值的特性系数，ai为系统动态系数，则k＋j时刻的n（n＜p）步预估值为：

＾（k＋j）＝Σa△u（k＋j－i）＋a△u（k＋j－p），j＝1，2，…，nyip

i＝1p－1

3．2．2基于状态空间模型的预测控制器设计

首先，假定输入输出无约束，则基于输入／

输出无约束的状

记y0（k＋j）＝Σai△u（k＋j－i）＋ap△u（k＋j－p）为过去输入对输出

i＝j＋1

p－1

40

态空间模型预测控制器设计函数格式为：Ks＝smpccon（imod，

单级倒立摆的LQR控制和DMC控制Matlab仿真比较通过对比观察图3和图4，LQR控制和DMC控制都可以得到令人满意的结果。从仿真曲线可以看出，LQR控制中速度振荡幅度较大，DMC控制位移和速度的振荡都很小。由于选择状态空间模型作为系统模块，在仿真过程中会出现延迟部分输出，排除时间延迟因素后，DMC控制的超调量比LQR最优控制要小，并且调整时间也比LQR方法短。DMC控制总体表现效果比LQR控制要好。

ywt，uwt，M，P），imod为预测模型，ywt为二次型性能指标函数的输出误差加权阵；uwt为二次型性能指标函数的控制量加权阵；M为控制时域长度；P为预测时域长度；Ks为预测控制器的

增益矩阵。

然后，计算输入／输出无约束的状态空间模型预测闭环控制系统模型函数smpccl()的格式为：

[clmod,cmod]＝smpccl(pmod,imod,Ks,Kest),pmod为系统的MPC状态空间模型；Kest为状态估计的增益矩阵；

最后仿真函数格式为：

4结束语

仿真结果表明，作为最优控制分支的LQR控制方法和作为

先进控制分支的DMC控制方法在对近似线性时不变系统都具有良好的控制效果，而且，DMC控制方法所需调整时间短，鲁棒性强，控制效果更好。

参考文献

［1］朱文凯，袁桂嫦，朱学峰．倒立摆的PID与LQR控制算法的对比研究

［J］．广东自动化与信息工程，2006（2）

［2］固高科技有限公司．倒立摆与自动控制原理实验［M］．深圳：固高科技

有限公司，2005

［3］侯涛，牛宏侠，董海鹰．单级倒立摆复合控制与实现［J］．微计算机信

息，2007（23）

［4］张立炎，钱积新．多变量预测控制器设计与参数调节评述［J］．机床与

液压，2007（35）

［5］D．WANG,J．A．ROMAGNOLI．Robust

[y,u,ym]＝smpcsim(pmod,imod,Ks,tend,r,ulim,Kest,z,v,w,wu),其中，y为系统响应，u为控制变量，ym为模型预测输出。

取M＝10，P＝10，tend＝40，r＝0．2*ones（4,2），调用上述函数，使用plotall()输出的系统输出响应曲线如图4所示。

modelpredictivecontrol

designusingageneralizedobjectivefunction[J]．ComputersandChemicalEngineering,2003,27

［收稿日期：2011．3．15

］

图4

DMC控制仿真的响应曲线

55555555555555555555555555555555555555555555555

（上接第37页）

表4

作方式，由主机调度。设计了与测试仪有关的远端操作命令，表

KCL溶液电导率测定结果

5通讯协议与网络功能

测试仪设计有隔离的RS－485标准串行接口，通讯协议兼容

［1］

5列出了通讯命令集。命令串语法中，第一个字符（％、＃、＄、选和＞）为定界符；AA表示设备十六进制地址码，结束标志是回车符（CR）。如常用命令＃AAN（CR）中的N为通道类别，0为温度通道，1为电导率通道。除按键外还可以通过程序对测试仪进行设置和标定。上位机程序是在Windows环境下用VisualC＋＋6．0开发的，它通过置配置参数、校零点、校满度、记录参数命令

完成对测试仪的参数设置和标定校正。并通过读配置、通道状态、读模块名、软件版本等命令获得测试仪的配置参数。

研华ADA－M4000系列，能够直接接入RS－485总线网络。

E2PROM内一个字节的配置参数用来选择是否进行奇偶校验和

通讯的波特率，该字节可通过按键或程序设置，波特率可选择为

6结束语

本测量仪的相对误差小于1％，具有稳定性好，精度高，可测

1200bps、2400bps、4800bps、9600bps、19200bps、38400bps。字符格式采用一个起始位、8个数据位（或7个数据位加一个奇

偶校验位）、和一个停止位的标准异步格式。通讯方式为主从工

表5

通讯协议命令集

范围宽等优点。采用隔离的RS485标准串行接口和标准通讯协议，能够直接接入RS485总线网络，组成RS485总线控制系统，满足了现代化工业中电导率多点同时测量，远距离实时监控的要求。

参考文献

［1］仲崇权，等．基于RS485总线的温度采集模块［J］．工业控制计算机，

1999，12（5）：29－31

［2］董斌秀，蔡晓华，王军．智能仪表程序设计中自动标定与自动调零的

实现［J］．农机化研究，2000（4）：59－61［3］K．A．Sudduth,N．R．Kitchen,G．A．Bollero．

Comparisonofelectro-

magneticinductionanddirectsensingofelectricalconductiv-ity[J]．AgronomyJournal．2003,95(3):472－482

［4］邱桂京．电导率仪检定原理的探讨［J］．计量与测试技术，2005，32

（11）：14－16

［收稿日期：2011．6．4

］