单级倒立摆LQR控制仿真_王令军

技术介绍

信息技术与信息化

单级倒立摆LQR控制仿真

LQRControlSmiulationofSingleInvertedPendulum

王令军* 刘世国**

WANGling-jun LIUShi-guo

摘 要 倒立摆是不稳定,非线性,强耦合系统,本文应用现代控制理论最优控制LQR方法对单级倒立摆系统进行仿真控制研究,仿真结果说明反馈控制理论对倒立摆系统的控制是有效的。

关键词 倒立摆 现代控制 LQR MATLAB

Abstract Singleinvertedpendulumisnon-stable,non-linear,strongcouplingsystem。Basingonmoderncontroltheories,theLQRcontrolmethodsofinvertedpendulumsystemisdiscussed.Feedbackcontroltheoryisusefulforsingleinvertedpendulumcontrolsystemaccordingtothesimulation.

Keywords Invertedpendulum Moderncontrol LQR MATLAB

可得系统状态空间方程:

xx=

mgl(M+m)

I(M+m)+Mml2

m2gl2

I(M+m)+Mml2 0xx+

ml

I(M+m)+Mml2 0I+ml

I(M+m)+Mml2

10

0000

-mlb

I(M+m)+Mml2

1

1 引言

倒立摆系统是一个非线性、强耦合、多变量和自然不稳定的系统,倒立摆系统通常用来检验控制策略的效果,

是控制理论研究中较为理想的实验装置。又因其与火箭飞行器及单足机器人有很大的相似之处,引起国内外学者的广泛关注。其控制方法在军工、航天、机器人领域和一般工业过程中都有着广泛的用途,如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等均涉及到倒置问题,对倒立摆系统的研究在理论上和方法论上均有着深远意义。

1(I+ml2)b

00

I(M+m)+Mml2

u(1)

2 单级倒立摆数学模型

直线一级倒立摆系统可抽象成小车和匀质杆组成的系统,如图1所示。

3 最优二次型设计

最优控制理论主要通过对性能的优化寻找可以使目标极小的控制器。其中线性二次型性能指标可以通过求解Riccati方程得到控制器参数。利用线性二次型性能指标设计的控制器称作LQR控制器,倒立摆系统的设计属于连续系统的二次型设计。对于形如x(t)=Ax(t)+Bu(t)的连续线性系统,二次型最优指标为[1-2]:

J=

1

2

Q[x(t)Qx(t)+u(t)Ru(t)]dt,式中,Q

T

]

T

=Q,半

正定;RT=R,正定。

最优状态反馈:u(t)=-R-1BTPx(t)=-Kx(t),K=R-1

图1 直线一级倒立摆系统

假设:小车质量M,摆杆质量m,小车摩擦系数b,摆杆转动轴心到杆质心的长度,l摆杆惯量I,加在小车上的力F,小车位移x,摆杆与垂直向上方向的夹角。

解。

PA+ATP+Q-PBR-1BTP=0。

MATLAB调用lqr命令函数求解上述最优问题,包括解代数

*淄博热电股份有限公司张店热电厂 山东 淄博 255075

**山东基建股份有限公司淄博管理处 山东 淄博 255000

BTP。

式中,K为最优反馈矩阵,P为下列代数Riccati方程的

Riccati方程和最优反馈矩阵K。

命令格式为:[K,P,E]=LQR(A,B,Q,R)

140 2006年第4期

信息技术与信息化

式中,A,B,Q,R矩阵定义如上。K为最优反馈阵,P为Riccati方程的解,E为闭环特征值。

如图2所示,倒立摆这一状态反馈系统的反馈系数K就由LQR命令来得到。图中的U,U,x,x分别代表摆杆角度、摆杆角速度、

小车位移和小车速度。

制是有效的,倒立摆能够被控稳定。

技术介绍

图3 LQR控制的状态响应曲线

图2 状态反馈系统的方框图

4 LQR控制仿真

倒立摆系统仿真的具体数据如下:M小车质量1Kgm摆杆质量0.1Kg

b小车摩擦系数0.1N/m/secl摆杆转动轴心到杆质心的长度0.2m

角度、角加速度、位移和速度的初始数值都取为零。可得:

xxxx000

3.8076]。

倒立摆的角度、角速度、位移和速度的初始值均为零。要把小车移到+1的位置,相当于施加单位阶跃信号。

仿真结果如下,图3中给出了角度、角速度、位移和速度的响应曲线。图4中给出了输出变量的响应曲线。

+=

039.439003.658500.200100u

(2)

100000

0-0.

36585

1-0.图4 LQR控制的输出响应曲线

0.7170700

参考文献:

[1] 刘豹.现代控制理论.机械工业出版社,2003.[2] 蔡寿康,张正方.最优控制.电子工业出版社,1984.[3] 张志勇,刘瑞桢,扬祖樱.掌握和精通MATLAB.北京航

空航天大学出版社,1997.

[4] 刘金琨.先进PID控制及其MATLAB仿真.电子工业

出版社,2003.

[5] 严雪莉,江汉红.单级倒立摆控制方法的仿真对比研

究.测控技术,2005,Vol(24).7:37-39.

[6] 黄丹,周少武,吴新开,张志飞.基于LQR最优调节器

的倒立摆控制系统.微计算机信息,2004,Vol(20).2:37-38.

[作者简介] 王令军,男,山东淄博热电股份有限公司张店热电厂,工程师,大学学历,研究兴趣:自动控制,信息管理。

(收稿日期:2006-01-24)

10

00取Q=

,R=0.25。运行以下MATLAB函数[4]:

K=LQR[A,B,Q,R],可得K=[34.6336.1778-2-

5 小结

倒立摆是不稳定,非线性,强耦合系统,本文应用最优控制LQR方法,利用M

ATLAB对单级倒立摆系统进行仿真控

制研究,仿真结果表明状态反馈控制理论对倒立摆系统的控

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