基于移动机器人两步法的摄像机标定_曹亮

图像;识别;视觉

高　新　技　术

２０１３　　ＮＯ．２８

科技资讯

基于移动机器人两步法的摄像机标定①

曹亮 佟威

（西安建筑科技大学信息与控制工程学院 陕西西安 710055）

摘 要：利用透镜成像理论建立摄像机数学模型，提出一种全面考虑镜头的径向畸变和切向畸变的简单、快速的摄像机参数标定和修正方法，利用图像中心附近点畸变量较小的性质，对摄像机内、外参数进行标定。实践证明，该方法能快速、方便地对摄像机系统进行标定和相差修正，具有良好的精度和稳定性。关键词：摄像机标定　　镜头畸变　　两步法中图分类号：ＴＰ２４２文献标识码：Ａ文章编号：１６７２－３７９１（２０１３）１０（ａ）－０００９－０２

摄像机标定，是指建立设星级几何模型，描述空间坐标系中的景物点同它的图像平面上的像点之间的对应关系，从而求取该模型的各参数的过程。迄今为止，对于摄像机标定问题已经提出了很多方法，其中以Ｔｓａｉ的“两步”（ｔｗｏ－ｓｔａｇｅ）标定法最为常用。此方法先用径向排列约束得到部分外部参数的精确解，然后在将其余外部参数与畸变修正参数进行迭代求解。该方法计算量式中，精度较高。但是这种方法只考虑了径向畸变，当切向畸变较大时就不适用。

根据现实实验需要，本文提出一种新的方法。该方法全面考虑了在摄像机模型镜头中的径向畸变和切向畸变。利用图像中心附近点畸变量比较小的性质，提出一种摄像机内、外参数的标定方法。

（３）

既可以简化计算的复杂性，又可以在某种程度上去近似其他畸

变，提高了标定的精度。1.2摄像机标定模型

由摄像机的几何对应关系，设（Xw,Yw,Zw）为世界机坐标，（Xc,Yc,Zc）为摄像机坐标系以及图像坐标系为（X,Y），如图１中所示，摄像机坐标中心点在Ｏ点（摄像机的光心），ｚ轴与光轴重合。图像坐标为中心在Ｏ（光轴ｚ图像平面的交点）平行于ｘ，ｙ轴的图像坐１

标系。(Xu,Yu)是理想小孔摄像机模型下标定点的图像坐标，

1 摄像机模型

(Xd,Yd)是由透镜变形引起的偏离(Xu,Yu)实际图像坐标。计算机图

1.1畸变模型

像坐标系坐标(Xf,Yf)的单位是像素数，有效焦距ｆ是光学中心到

摄像机模型就是对景物成像到图像的物理过程的数学描述，

图像平面的距离。

本文采用针孔摄像机模型。理想的透镜成像模型而实际的透镜成

从三维世界坐标到计算机图像坐标系的的转换关系有下面几步。

像并不完全满足针孔模型，由于摄像机本身存在光学系统的加工

第一，世界坐标系与摄像机坐标系之间的转换关系为：

误差和装配误差等原因，往往造成非线性几何失真。实际情况如图

?Xc??Xw?１所示，与理想的针孔成像相比有一定的光学畸变，称之为光学畸?Y????c?=?rt??Yw?变误差。畸变主要包括径向畸变，切向畸变和薄棱镜畸变三种。本??Zc??（４）?01??Zw?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　文主要考虑前两种畸变。?????1??1?径向畸变径向畸变会引起图像点沿径向移动，离中心点越远，

其中ｒ和ｔ分别代表３×３旋转矩阵和３×１平移矩阵。其变形量越大。这种畸变是关于摄像机镜头主光轴对称的，其数学

第二，针孔摄像机模型下的理想透视投影变换为：δ=Xd?(k1?ρ2+k2?ρ2)

{xrfXc

模型为δ=Y?(k?ρ2+k?ρ2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）Xu=yrd12

c

{

22fY(δxr,δyr)为径向（５）式中：ρ=dd；k1、k2为径向畸变系数；Yu=c　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

c

畸变坐标。

第三，畸变模型：用于描述图像坐标系中实际图像坐标(Xd,Yd)切向畸变不关于摄像机镜头光轴对称，其数学模型为

22

δ=k3?(3Xd+Yd)+2k4?Xd?YdXu=Xd+δx{xt{（２）与理想图像坐标(Xu,Yu)之间的关系为：Y=Y+δ　　　　　　　　　　（６）δ=2k?X?Y+k?(X2+3Y2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

yt

3

d

d

4

d

d

U

dy

(δxt,δyt)为切向畸变坐标。式中：k3、k4为切向畸变系数；

由以上可知，摄像机的综合畸变为：

第四，实际图像坐标与计算机图像坐标变换关系为（３）～（６）

得到图像坐标与世界坐标的关系式中

第五，{

Xf=sxXd+Cx

其中

Yf=syYd+Cy

sx，sx为焦比，sy(Cx,Cy)为计算

机图像坐标。

综合式（３）～（６）得到图像坐标与世界坐标的关系式中，可以

22得到Xd?(1+k1?ρ+k2?ρ)

+k3?(3Xd2+Yd2)+2k4?Xd?Y＝f

r11Xw+r12Yw+r13Zw+t1

r31

Xw+r32Yw+r32Zw+t3（７）

Yd?(1+k1?ρ2+k2?ρ2)+2k3?Xd?Yd+k4?(Xd2+3Yd2)＝f

第六，待标定的模型参数模型内参数焦比sx，sy；图像中心：畸变系数k1,k2,k3,k4；模型外参数旋转矩阵ｒ，平移向量ｔ。

r21Xw+r22Yw+r23Zw+t2

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（８）

r31Xw+r32Yw+r32Zw+t3。

2 摄像机模型的参数求解

图1 考虑透镜径向畸变和切向畸变的摄像机成像模型

（１）基本思想。由于摄像机模型的参数比较多，求解复杂且稳定性

①作者简介：曹亮（１９８７—），男，硕士研究生，从事控制理论与控制工程，机器人双目视觉的研究。

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由上式（９）和（１０）知，且令ki=0,ki=0,(i=1Λ4)，

差。本文先用图像中心附近点标定摄像机内外部参数，然后用全视场标定点对畸变系数进行求解。

（２）假设条件。本文在进行摄像机标定的时候，现需要假设三个条件。

①先要标定图像中心(Cx,Cy)，通常采用三种办法，直接光学法；变焦距法：径向排列约束法。我采用直接标定法。

②主点即使图像中心又是径向畸变中心。③当镜头畸变很小时，畸变可以忽略。（３）摄像机标定内外参数标定过程。由于已知图像中心，且当镜头畸变量很小时，可以忽略以及坐标关系可以得到以下推导过程。

Xu=Xd=(Xf?Cx)/Sx。

dv=1,，即方程变为：

求得Sv和tz的初始值。

将上面所求结果作为初始值，运用非线性优化算法的Sv，du，tz的优化解。

⑤由上式中Xu=f

r11Xw+r12Yw+r13Zw+t1r31Xw+r32Yw+r32Zw+t3

Yu=f

r21Xw+

r22Yw+r23Zw+t2r31Xw+r32Yw+r32Zw+t3，

Yv=Yd=(Yf?Cy)/Sy

rX+rY+rZ+t

Xu=f11w12w13w1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　且有：（９）r31Xw+r32Yw+r32Zw+t3rX+rY+rZ+t（１０）

r31Xw+r32Yw+r32Zw+t3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

另外，由图１中可知O0，Pd,Pu在通一条直线上，可知Yu=f

Xu/Yu=[(Xf?Cx)/Sx]/[(Yf?Cy)/Sy]Xd/Yd

且，将上面两式带入上两

式，可以得到ki,(i=1Λ4)的方程，用最小二乘法即可讲求求解。

3 实验结果

标定实验系统包括一个高清摄像机，可以精确控制的智能平

台，计算机，平面标定模板。

实验室采用７８６×５７６像素的ｓｏｎｙ摄像机，标定模板采用打印在纸上９×９的正方形，去每个正方形中心座样本。

首先测量各个标志点在世界坐标系下的坐标，

然后得到图像平面坐标，利用所得的测算数据计算各个标定参数的结果如下：

所以，由以上可以知道

r11Xw+r12Yw+r13Zw+tx

r21Xw+r22Yw+r23Zw+ty

＝[(Xf?Cx)/Sx]/[(Yf?Cy)/Sy]经过整理后知：

(

r11rrr

Xw+12Yw+13Zw+x×[(Y?C)/S]

fyytytytyty

r21rr

Xw+22Yw+23Zw+1)×[(X?C)/S]　　　　　　　　（１１）fxxtytyty

令a1=qxr11/tya2=qxr12/tya3=qxr13/ty，a4=qxtx/ty

＝(

a5=qxr21/tya6=qxr23/ty

qx=Sy/Sx式中：

则上式变为：

ｆ＝９７１１ｐｉｘｅｌ　　Sx=1.0318　　Sy=0.0987K1=0.0169　　K2=0.2227K3=0.0032　　K4=0.0004

0.032r=[0.991

?0.110

?0.09640.02560.0640.254

0.094]0.959

(a1Xw+a2Yw+a3Zw+a4)×[(Yf?Cy)]

＝(a5Xw+a5Yw+a6Zw+1)[(Xf?Cx)]　　　　　　　　　　　　　　　　　（１２）式（１０）中是一个一阶线性方程，可以采集多个坐标，通过求解，可以得到a1ΛΛa7的值，所以，也可以求得其他参数的值。推导过程如下：

2a5①由上式得到：

2+a2=(r2+r2+r2)/t2+a67212223y

2+r2+r2)=1又因为ｒ是正交矩阵，则有：(r212223

t=[155.461?76.1565455.628]

4 结语

两步法摄像机标定法综合了线性变换法和非线性优化法的特

点，综合考虑了径向畸变和切向畸变，并且将非线性问题转换为线性模型去解决，简化了计算过程，提高了计算效率，得到的计算机结果更加精确。

ltyl＝得：222567

将远离图像中心的特征点带入方程

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１３）

若Xc与图像对应点的Xf?Cx同号，Yc与图像对应点Yf?Cy同号，则ty>0,否则ty<0,

2+a2+a2=q2(r2+r2+r2)/t2②因为a123x111213y2+a2+a2=q2x（a2+a2+a2且：a123x567）

参考文献

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［６］Ｌｉｕ　Ｙｕａｎｊｉｏｎｇ，ＫＯＮＧＪｉａｎｙｉ，ＷＡＮＣ　Ｘｉｎｇｄｏｎｇ，ｅｔ　ａｌ．Ｎｏｎｌｉｎ－

ｅａｒ　ｃａｍｅｒａ　ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｂｉｎｏｃｕｌａｒ　ｓｔｅｒｅｏ　ｖｉｓｉｏｎ　ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ，２０１１，２８（９）：３３９８－３４００．

qx=所以：

2+2+2)(a123

22(a5+a6+a72)

=a4ty/qx

④由上式中a1=qxr11/ty，a2=qxr12/ty，a3=qxr13/tya4=qxtx/ty，a5=qxr21/ty，a6=qxr23/ty

可得r11,r12,r13,r21,r22,r23,r31,r32的值。

③由上式得到a4=qxtx/ty，所以tx

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