多属性决策中权重确定的主客观赋权法_樊治平

机器人;控制;系统

第7卷第4期

1997年决策与决策支持系统JOURNALOFDECISIONMAKINGANDDECISIONSUPPORTSYSTEMSVol.7No.41997

多属性决策中权重确定的主客观赋权法

樊治平　赵　萱

(东北大学工商管理学院)②①

【摘要】针对多属性决策中属性指标权重的确定问题,提出了一种主客观赋权法,该方法是通过一个数学规划模型自动求解属性的权重,使确定的权重同时反映主观程度和客观程度.

关键词:多属性决策,权重,模型,主客观方法

0　引　言

多属性决策也称为有限方案多目标决策,由于其在社会、经济、管理及工程系统等各个领域有着广泛的实际背景,例如投资决策、项目评估、人员考核和经济评价等,所以,一直是决策分析的一个重要研究内容.

值得指出的是,对于多属性决策问题,无论采取什么分析方法,大多需要事先确定各属性(指标)的权重.关于权重的确定方法,目前,主要分为主观赋权法和客观赋权法两大类.主观赋权法是根据各指标的决策者主观重视程度进行赋权的一类方法,如专家调查法[1]、二项系数法、环比评分法及层次分析法等;而客观赋权法是各个指标根据一定的规则进行自动赋权的一类方法,如主成分分析法、熵技术法、均方差法及目标规划法等.

运用主观赋权法确定各指标间的权重系数,反映了决策者的意向,决策或评价结果具有很大的主观随意性.而运用客观赋权法确定各指标间的权重系数,决策或评价结果虽然具有较强的数学理论依据,但没有考虑决策者的意向.因此,主、客观赋权法均具有一定的局限性.

如何使多属性决策问题的决策分析结果既含主观信息,又含客观信息?探讨将主、客观信息(或方法)综合集成的新方法,是一个新课题,在这方面还有许多工作可做,无论在理论上,还是应用上,都是有价值的.目前,关于这方面的研究已经引起重视.如文献[10,11]分别采用分析模型的方法研究了定性数据(主观信息)与定量数据(客观信息)相结合的多属性决策问题;文献[12,13]分别研究了多属性决策中属性(指标)权重的确定的主客观综合赋权方法.总之,这方面的研究还不多见,一些研究成果仅仅是初步的.[5][6][7][8,9][2][3][4]

①国家自然科学基金(79600006)资助项目.

②:.::

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决策与决策支持系统　　　　　　　　　　　　　1997年

1　原理与方法

　　设多属性决策问题的决策方案集为S={S1,S2,…,Sm},属性(或指标)集为P={P1,P2,…,Pn},方案Si对属性Pj的属性值记为aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n),矩阵A=(aij)m×n称为“决策矩阵”.通常,属性有效益型、成本型、固定型及区间型之分,并且不同属性的“量纲”可能不同.为了便于分析计算,需要对决策矩阵A进行规范化,这里可以采用文献[8]中给出的规范化公式,记已规范化的决策矩阵为B=(bij)m×n.

′

记由主观赋权法得出(或由决策者直接给出)的属性权重向量为W′=(W′1,W2,…,″″

W)且满足0≤W≤1,∑W′j=1;由客观赋权法得出的属性权重向量为W"=(W1,W2,′T

n

′j

j=1

n

n

…,W),且满足0≤W≤1,∑W″j=1.记T、U分别表示W′和W″的重要程度.

″T

n

″j

j=1

考虑到将主观权重向量与客观权重向量进行综合,则令　　　　　　　　　　W=TW′+UW″

这就是主客观综合赋权法确定的权重.为了分析方便,设T、U满足单位化约束条件

22　　　　　　　　　　T+U=1

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

根据多属性决策分析的加权法则,可求得各决策方案的评价目标值为

n

n

ij

　　　　　di=

∑b

j=1

Wj=

∑b

j=1

ij

(TW′j+UW″j)　i=1,2,…,m

显然,di总是愈大愈好.如果di>dj,那么方案Si优于Sj.为此,构造如下多目标规划模型　　　　　max　D=(d1,d2,…,dm)

22　　　　　s.t.　T+U=1

T,U≥0

显然,这是一个多目标决策规划问题.由于各决策方案之间是公平竞争,不存在任何偏好关系,因此,上述多目标决策规划模型可用等权的线性权和法综合成如下等价的单目标最优化模型

　　　　　max　Z=

∑

m

i=1

di=

∑∑b

i=1j=1

mn

ij

(TW′j+UW″j)

(7)(8)(9)

22　　　　　s.t.　T+U=1

T,U≥0

定理1　由式(7)～式(

9)所确定的最优化模型的最优解为

m

nj=1n

ij

*

　　　　　T=

*　　　　　U=

∑∑

i1m

bijWj

mnm

ij

n

(∑

m

i=1j=1

n

∑bW)+(∑

′2

j

m

′2j

i=1j=1

n

∑b

ij

2

W″j)

(10)(11)

∑∑b

i=1j=1m

n

Wj

(∑

i=1j=1

∑b

ij

W)+(∑

i=1j=1

∑b

ij

Wj)

″2

　　证明　构造Lagrange函数

22

(T+U-1)2i=1j=1

e=　　　　　L=

∑∑b

ij

(TW′j+UW″j)+

(12)

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第4期　　　　　　樊治平等:多属性决策中权重确定的主客观赋权法

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(13)(14)证毕

nj=1

　　　　　　　　　　∑　　　　　　　　　　∑

m

m

i=1j=1

n

∑b∑b

n

ij

Wj+λT=0W″j+λU=0

′

ij

i=1j=1

联立求解式(13)、(14)和式(8),可以得到式(10)、(11).

为了使式(1)中的权重向量W=(W1,W2,…,Wn)T满足0≤Wj≤1,∑Wj=1,可以对T、U进行归一化处理,即令

　　　　　　　　　　T=T/(T+U)　　　　　　　　　　U=U/(T+U)

将式(10)、(11)代入式(15)、(16),有

m

n

ij

′j

m

n

′

″

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

(15)(16)(17)(18)

　　　　　　　　　　T==

*

*

∑∑b

i=1j=1m

n

i=1j=1

W/∑∑bij(Wj+Wj)

i=1j=1m

n

∑∑b

n

ij

W

j

∑∑b

i=1j=1

ij

(Wj+Wj)

′″

*

若取T,U进行决策分析的加权法则,则各决策方案的评价目标值为

　　　　　　　　　　i=

∑b

j=1

ij

**″

(TW′j+UWj)

(19)

　　　　　　　　　　i=1,2,…,m

显然,di愈大,相应的决策方案愈优.

定理2　分别使用评价目标值di和di进行决策方案的排序时,所得到的两个排序结果没有差别.

证明　若di≥dj,则只需证di≥dj即可.由于

n

　　　　　di=　　　　　di=

∑b

j=1n

ij

(TWj+UWj)　　　i=1,2,…,m(TWj+UWj)　　　j=1,2,…,n

′

″

*′*″

∑b

j=1n

ij

*******

=T/(T+U)　　U=U/(T+U)

则有

*

′

　　　　　i=∑bij(Wj+T+Uj=1

*

″Wj)T+U

=

即

T+

n

b

U∑

j=1

ij

**″(TW′j+UWj)

　　　　　　　　　　i=

di

T+U

**

因为有T+U>0,则当di≥dj(i≠j)时,有下式成立

(20)

　　　　　　　　　　即di≥dj.

T+U

di≥

T+U

dj

证毕

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决策与决策支持系统　　　　　　　　　　　　　1997年

2　算例

　　考虑一个购买住房的多属性决策问题.它有4处住房可供选择,即S1,S2,S3,S4,;有5个属性,即P1,P2,P3,P4,P5,它们分别是购房价格(万元)、使用面积(平方米)、住房距工作地点的距离(公里)、住户设施(分数)和住房周围环境(分数),其中P1,P3为成本型属性,P2,P4,P5为效益型属性.该问题的原始决策矩阵如表1所示.

表1　购买住房有关信息

P1

S1S2S3S4

30251822

P2100805070

P31082012

P47355

P575109

根据文献[8],规范化的决策矩阵B为

010.8333　　　　　B=

0.4167

0.6

1

10

0.

1000.510.66670.40.66670.50.T

假设决策者事先给出的属性的权重向量为W′=(0.3,0.2,0.15,0.15,0.2).运用文献[9]给出的客观赋权法,可以求出属性的权重向量为

　　　　　W"=(0.1911,0.1824,0.2435,0.1849,0.1981)T限于篇幅,这里略去W"的求解过程.

根据前面的公式(17)、(18),可求出

=0.4957,U=0.5043

则反映主客观信息的属性权重向量为

　　　　　W=TW′+UW"=(0.2451,0.1911,0.1971,0.1676,0.1990)将权重向量W′、W″和W分别代入式(3),计算各决策方案的评价目标值并进行相应的方案排序,其结果如表2所示.

表2　决策方案的排序结果

确定权重的方法

主观赋权法客观赋权法主客观综合赋权法

方案排序

S4 S3 S1 S2S1 S4 S3 S2S4 S1 S3 S2

T

　　由表2的计算结果可以看出,由于确定属性权重向量的方法不同,所以决策方案的排序结果将略有差别.但采用主客观综合赋权法确定属性的权重向量,相应的决策分析结果将同时反映主观程度和客观程度.

3　结束语

,,

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第4期　　　　　　樊治平等:多属性决策中权重确定的主客观赋权法—91—观权重与客观权重加权综合起来,其加权系数由数学规划模型求出.本文的研究内容弥补了单纯采用主观赋权法或客观赋权法的不足,使多属性决策问题的分析结果同时反映了主观程度和客观程度.需要指出,对于多属性决策中主客观信息综合集成方法的研究,具有重要的理论价值和应用价值,这是一个需要深入研究的新课题.

参考文献

1　镇常青.多目标决策中的权重调查确定方法.系统工程理论与实践,1987,7(2):16～24

2　程明熙.处理多目标决策问题的二项系数加权和法.系统工程理论与实践,1983,3(4):23～263　陆明生.多目标决策中的权系数.系统工程理论与实践,1986,6(4):77～78

4　杨圣宏.用比较矩阵求多指标的权值及排序.系统工程理论与实践,1988,8(1):19～26

5　严鸿和,陈玉祥,许绍明等.专家评分机理与最优评价模型.系统工程理论与实践,1989,9(2):19～236　张文泉,张世英,江立勤.基于熵的决策评价模型及应用.系统工程学报,1995,10(3):69～74

7　周子康,那吉生.多准则综合排序问题的研究.管理现代化,1990,(5):5～7

8　王应明,傅国伟.运用无限方案多目标决策方法进行有限方案多目标决策.控制与决策,1993,8(1):25～29

9　樊治平.多属性决策的一种新方法.系统工程,1994,12(1):15～17

10　CookWD,KressM.AMultiple-CriteriaCompositeIndexModelforQuantitativeandQuanlitative

:367～379Data,EuropeanJournalofOperationalResearch,1994,78

11　YangJB,SinghMG.AnEvidentialReasoningApproachforMultipleAttributeDecisionMaking

withUncertainty.IEEETransactionsonSystems,Man,andCybernetics,1994,24(1):1～18

12　梁梁,陈晓剑.重要性与信息量的综合评价方法.决策与决策支持系统,1993,3(3):90～92

13　FanZP,ZhengLH,PanDH.AnObjectiveandSubjectiveSyntheticMethodforMultipleAttribute

DecisionMaking.Proceedingsofthe13thIFACWorldCongress,SanFrancisco,USA,1996,L:255～260

AnObjectiveandSubjectiveSyntheticApproachtoDeter-mineWeightsforMultipleAttributeDecisionMakingFanZhiping,ZhaoXuan

SchoolofBusinessAdministration,NortheasternUniversity　Thispapermakesastudyofdeterminingweightsvectorformultipleattributedecisionmaking,anditpresentsanobjectiveandsubjectivesyntheticapproach.Thisap-proachcanautomaticallysolveweightsvectorofattributesthroughakindofmathematicsprogrammemodel,whichmakestheweightsreflectnotonlytheobjectivedegreebutalsothesubjectivedegree.

　multipleattributedecisionmaking,weights,model,objectiveandsubjective

syntheticapproach