基于平移不变的小波去噪方法及应用

基于平移不变的小波去噪方法及应用

　2002年3月第25卷第3期

重庆大学学报　(自然科学版)

JournalofChongqingUniversity(NaturalScienceEdition)

Vol.25　No.3Mar.2002

　　文章编号:1000-582X(2002)03-0001-05

基于平移不变的小波去噪方法及应用

汤宝平1,杨昌棋1,谭善文2,秦树人1

(1.重庆大学机械学院测试中心,重庆　400044;2.中国工程物理研究院应用电子学研究所,绵阳　621900)

摘　要:基于传统的小波变换去噪算法可能使信号的急剧变化部分产生人为的振荡现象,产生这种现象的一个直接原因是小波缺乏平移不变性。提出了基于平移不变的小波去噪方法,对所分析的信号进行循环平移,再利用软或硬门限对该信号的小波系数进行压缩,重构信号,再进行相反的循环平移,通过多次的平移—消噪—平移,平均所获得的结果,从而消除小波基的平移依赖性。该方法能有效地消除人为的振荡现象,使消噪后的信号更加光滑,更好地逼近真实信号。

关键词:小波变换;信号去噪;平移不变

中图分类号:TH115　　　　　　　文献标识码:A

　　去除噪声的方法是信号处理中讨论得最为广泛的问题之一。传统的线性滤波方法存在着保护信号局部特征与抑制噪声之间的矛盾,小波变换由于具有时-频局部化特点及小波基选择的灵活性,为解决这一问题提供了一个有效的工具[1～3]。用这一方法去噪的基本步骤如下:

1)选择合适的小波基,对含有噪声的原始信号作小波变换;

2)利用软或硬门限处理相应的小波系数,获得新的被压缩的小波系数;

3)通过小波逆变换,获得去噪后的信号。由于正交小波基是由基本小波函数经伸缩与平移得到的函数集,平移是非一致取样,随着尺度增大位移取样间隔以2的指数倍变大,而正交小波函数集不能从多尺度的角度很好地匹配信号的局部结构特征,因此这种去噪算法可能使信号的急剧变化部分产生振荡现象[4]。这个过程也表现出小波基平移依赖性。为了有效地消除这种人为的振荡现象,在一定的平移量范围内,对所获得的原始信号进行循环平移,从而获得一个在时域上与原始信号具有一定相差的新信号,对这个新信号作小波变换,再用软或硬门限对小波系数进行处理,用小波逆变换重构,得到去噪后的新信号,对这

测:

yj,k=wj,k+zj,k

其中:j=0,1…N-1;k=0,1…2j-1。在对信号的小波变换系数进行分析之后,发现噪声的影响表现在各个尺度上,而信号的主要特征却分布在较大尺度上的有限个系数中,而且由大尺度上有

(3)

信号作相反的循环平移,从而得到去噪后的与原始信号同相位的信号。改变平移量,重复这一过程,对所获结果求平均值。这一平均过程具有很好的去噪性和光滑性,能很好地逼近真实信号。

1　门限决策小波域消噪方法

如前所述,对含有噪声的信号作小波变换,再对小波函数作软(硬)门限处理,是基于平移不变去噪新方法的基础。

首先给出原始信号的观测:

yt=ft+zt

(1)

其中:ft代表信号,zt为满足N(0,1)分布的噪声;i=1,2,…N;N为数据长度。为以下推导书写方便,将(1)式记为:

Y=F+Z

(2)

对(1)式进行小波变换,得到小波分解系数的观

收稿日期:2001-11-20

基金项目:国家自然科学基金资助项目(50075090);博士点基金资助项目(2000061112)

,,,。

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限数目的小波系数可以很好地重构原始信号。因而通过把小的小波系数置零,并对相对大的系数作阈值处理,就可以近似最优地去除噪声。

采用软限幅函数小波域的系数进行阈值处理。软限幅函数为

ηyj,kt(

sgn(yj,k)yj,k-t)

yj,k≤tyj,k>t

(4)

些峰值并不是原始信号本身包含的,而是在去噪过程中产生的人为的干扰[3]。这种现象类似于基于Fourier去噪所产生的Gibbs现象。由于小波变换的局部化特征,其振荡幅度与奇异点的位置密切相关,例如,当用Haar小波基对噪声信号作小波变换,当奇异点位于n/2位置时,其变换结果几乎不表现出Pseudo-Gibbs现象;而在其它位置如n/3上,将表现出显著的Pseudo-Gibbs现象[3]。因此为了消除去噪后信号所表现的振荡现象,需要采取适当的方法,消除小波去噪在奇异点位置的特殊性。2.1　时域上的平移

如上所述人为振荡现象与信号的奇异点在信号中的排列位置相关联,具有同样特征,但表现与原始信号具有一定相位差,新的信号可能产生我们所期待的更小的振荡幅度。因此一个有效的途径是通过改变信号的排列次序、从而改变奇异点在整个信号的位置来达到降低或消除振荡幅度的目的。例如:对上面提到的用Haar小波基作小波变换,可以预先对信号进行循环平移,使原来不在n/2位置的奇异点平移到n/2位置,这样将大大降低Pseudo-Gibbs现象的产生,然后,通过相反的平移,恢复到同原始信号一样的排列次序,从而做到有效去噪的目的。

为了更清楚地描述上面的过程,现引进时域平移算子。对于信号xt(0≤t≤N),定义Sh为循环平移h位的平移算子。

Sh(xt)=x(t+h)modN

由于上面的算子是一一对应的,其逆

-1

(Sh)=S-h

其中ηyj,k)代表经过阈值处理后的小波系数,tt(代表软限幅函数的阈值。

这里需说明阈值t的选取主要基于以下两个滤波前提:①光滑性(Smooth):滤波后信号F 依大概率至少跟F有同样光滑度。②适应性(Adapt):F 可得到一个最小均方误差估计

[5,6]

。

对前提①可证明由它导出当N※∞时,下式几乎以1的概率存在‖ F‖F≤C‖F‖F,其中C为一常 函数。在小波域这意味wj,k≤wj,k着成立,j为尺度,k=0,1,…2j-1。

ft-ft2)求极小值,前提②意味着对E∑

Ni=1

这与求E‖w wj,k‖F极小等价,同时可以证明F ,j,k-w j,k必满足:

E‖F -F‖2wj,k-wj,k‖2F≤rE‖ F≤rN

当为正交小波变换时,r=1,由式(5)有

2

‖w j,k-wj,k‖F≤2ln(N)N

和式(6)可见,以任何wj,k≤

(6)2ln(N)

(5)

N-1

(8)(9)

式(6)可视为滤波后的残差的方差门限,由式(5)

2ln(N),取w j,k=0

(7)

将满足式(5),这时实际上认为当w j,k≤时,w为由噪声引发,因而门限取值为:

t=

2In(N)

由上述见该方法不仅满足最小均方误差准则,而且可以以很高的概率达到平滑的要求。

设信号的小波变换和软门限去噪声过程为一个分析运算T,通过平移来消除振荡的过程可表示为

x=S-h( T(Sh(x)))

(10)

x为原始信号x( t)基于平移不变的去噪结果。为了获得理想的去噪结果,基于平移不变的去噪就转化为寻找最优的平移参数h。2.2　平均平移量

对于一个给定的信号,通过选择最优的平移参数h可以实现振荡幅值的最小化。但是,这种方法并不总是有效,当一个信号包含多个奇异点时,有可能产生下面的现象:对某个奇异点来说是最佳的平移量,而对另一个奇异点可能是最差的平移量。因此,对一个复杂信2　基于平移不变的小波去噪算法

当采用变换域门限方法处理信号时,所表现出来的人为振荡现象的特征依赖于所用的变换方法。

在基于小波变换的去噪方法中,人为振荡现象主要表现在信号奇异点的附近。在奇异点的邻域内,小波变换去噪会表现出Pseudo-Gibbs现象,其重构回来的,

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决这个矛盾,通过对一定范围的平移量作循环平移运算,再平均所获得的结果。对给定平移范围H的平移量,这个过程可由下式表示

x=Aveh∈HS-h( T(Sh(x)))

其中Aveh∈H为平均运算更直观的描述如下

平均(平移※去噪※逆平移)h∈H。平移量H最大为原始信号长度N。2.3　理论分析

下面就以Haar小波基为对象,从理论上说明这种方法为有效性。

设(xt)是一离散的时间域信号,pjx=

(11)

c)逼近阶数,如果f∈Cα[0,1],那么

α

Pj＊f(t)-f(t≤C·‖f‖α·(2-j)(17)

对所有的α∈[0,2]都成立。

由以上知,基于Haar小波基的平移不变运算能够获得连续、光滑的,而且具有更高逼近阶数的去噪结果。

3　实例分析及结论

为了说明平移不变去噪方法优于传统的小波去噪方法,下面对两个含有标准白噪声的典型信号进行分析比较。

图1显示了加上标准高斯白噪声的信号时域图。为了对上面两种去噪方法进行比较。下面分别用软门限小波域去噪方法和平移不变去噪方法对上面两

(12)

个含噪声信号进行处理。

∑

K

<x,

j,k> j,k是基于Haar小波基的小波变换多分辨子空间上的逼近分量,其中

Pj=Aveh∈H{S-hPjSh}

质。

1)Pj是一个步长为N/2的阶递函数,而Pj是步长为1的阶递函数,步长1表示为离散信号的采样间隔,因此其满足1≤N/2j。

2)xt=a+bt为一条直线,那么Pjx是一个阶递逼近xt,而Pjx除了在端点外,是一条同xt一致的直线。

为了更好地理解上面两个特征,现在分析连续时间量的平移情况。设函数f(t),t∈[0,1],把[0,1]看成一个圆,定

Pj=Aveh∈[0,1]{S°-hP°jS°h}这里P°jx=

＊

j

为Vj上的平移不变逼近分量,Pj具有两个很好的性

(13)

∑

k

<x, j,k> j,k,

j,k=2

j/2

j

t[k/2j,(k+1)/2]

同时S°h、h∈[0,1]定义为t上的循环平移运算。那么Pj＊实际为一卷积运算,有

P＊j

这里

Υt,s)=2j (2j(t-s))j(

(u)=(1-|u|)+

(15)(16)

=

Υ(t,s)f(s)ds∫

j1

图1　典型信号加白噪声信号

(14)

形成的带噪信号

图2显示通过小波变换,然后用软门限去噪,再重构回来的去噪结果。采用的小波基为具有8阶消失矩的Symlet小波,而软门限阈值根据前面的介绍设置为t=,设软门限运算为ηω)=sgn(ω)(|ω|-t(t)+,而用Symlet小波基的小波变换为Ws8,小波逆变换为Ws8,则传统的基于软门限的小波域去噪运算为

Tη,S8=WS8ηtWS8

-1

-1

从上面的表达式(14),很容易验证下面3个性质。a)连续性,如果f∈L[∞P＊(t)是连续0,1],那么(jf)的,而P°jf一般是不连续的;

b)线性不变性,如果f(t)=a+bt,那么在t∈[

2-j+1-j+1,p＊jf(18)

图2

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围。由算法分析可知,其整个计算量为Nln(N),因此是可以接受的[3]。图4显示了其结果,其结果更为光滑,并且幅值有所下降,这说明其去噪效果更好。

图2　基于软门限小波域去噪声

理想,这正是由于Pseudo-Gibbs现象的原因。

对上面的信号用平移不变去噪方法进行处理,其平移量为H=H16={h:0≤h≤16},采用同样的小波基Symlet8和同样的软门限,其结果如图3所示。显见,其Pseudo-Gibbs振荡幅值明显减小

。

图4　基于完全平移不变小波域去噪声

为了说明前面基于Haar小波基的平移不变去噪方法理论分析正确性。我们对上面两个典型的信号用Haar小波基作两个去噪分析。

图5为基于软门限的小波域去噪结果,由图5可看出多普勒信号表现出明显的锯齿波形。同样的信号用完全平移不变去噪方法处理,其结果如图6所示,由图6可看出这种方法有效地消除了锯齿现象,表现出连续和光滑的特点,对原始信号具有更好的逼近程度。

图3　基于平移不变的小波域去噪

为了更好地消除Gibbs振荡现象,可以采用完全平移不变去噪方法,其平移量为H=HN={h:0≤h≤N},N为信号的长度。这种方法的好处在于可以根据信号的

长,图5　Haar小波基基于软门限小波域去噪声

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软门限去噪过程中所产生的pseudo-Gibbs现象,使去

噪后的结果具有更好的光滑性和逼近程度。

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-7.

图6　Haar小波基基于完全平移不变的小波域去噪[5]　李明,吴艳.基于子波变换阈值决策的非稳信号去噪

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DenoiseBasedOnTranslationInvariance

WaveletTransformAndItsApplications

TANGBao_ping1,YANGChang_qi1,TANShan_wen2,QINShu_ren1

(1.TestCenter,CollegeofMechanicalEngineering,ChongqingUniversity,Chongqing400044,China;

2.InstituteofAppliedElectronics,ChinaAcademyofEngineeringPhysics,Mianyang621900,China)

Abstract:De_noisingalgorithmbasedontraditionalwavelettransformmayproduceartifactsondiscontinuitiesofthesignal.Thereasonisthatthede_noisingalgorithmlacksofwavelettranslationinvariant.Thispaperproposesade_noisingmethodbasedontranslationinvariant.Themethodperformsthecycle_spinningforthesignaltobeanalyzed.Andthen,thesoft(hard)thresholdingisusedtoshrinkthewaveletcoefficientofthesignalandreconstructthesignal.Consequently,theshiftdependenceofwaveletbasisiseliminated.Thismethodcansuppresstheartifactseffectivelysothatde_noisedsignalismoresmoothandhasbetterapproximationtooriginalsignal.

Keywords:wavelettransform;signaldenoise;translationinvariant

(责任编辑　成孝义)