浅谈矩阵的秩的简单应用_李琦[2]

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浅谈矩阵的秩的简单应用

李琦谭雯心赵亚莉

（渤海大学数理学院，辽宁锦州121013）

【摘要】矩阵的概念已经被广泛的应用于许多领域以及社会的方方面面，本论文通过列举出一些例题及方法使读者更能结合习题理解矩阵的秩在解题中的具体应用，更能体现矩阵在数学研究领域中的重要地位，培养我们的数学思维和解题的能力.

【关键词】矩阵；初等变换；应用

RankofMatrixwithItsSimpleApplications

LIQiTANWen-xinZHAOYa-li

（CollegeofMathematicsandPhysics,BohaiUniversity,JinzhouLiaoning121013,China）

【Abstract】Theconceptofmatrixhaswidelyappliedtomanyareasaswellasmanyaspectsofsociety.Inthispapersomeexamplesandmethodsaregiventohelpthereaderstostudytherankofmatrixwithitsapplications,whichexhibitsthatthematrixhasimportantroleinthemathematicalresearchareaandhelpustoimproveourmathematicalthinkingandsolvingproblemsabilities.

【Keywords】Rankofmatrix；Elementarytransformations；Applications

1矩阵求秩

定义1.1[1]矩阵的秩：对于矩阵A来说,只要存在一个不为零的r级子式，并且它的全部r+1级子式(如果有的话)都是零，此时矩阵A的最高阶不为零的子式是r级的，并把数r叫做矩阵A的秩，记为r（A）=r.

定义1.2简化的阶梯形矩阵A：首先A是阶梯形矩阵，且A的每一行第一个非零元素为1，同时1所在的列除它外全是零.1.1求单个矩阵的秩

例1

求矩阵A=

例3求解方程组x1+2x2+0x3+x4=2

1

2x1+3x2+x3-x4=1

-x1-3x2+x3-4x4=-5-11-4-430

12-5

解应用初等行变换把增广矩阵B化为简化的阶梯形矩阵，即：

B=

12130-31542-1-3

的秩.

→

21-132-32-10

101-530

00

→

100010

，

1002-1-10111-3-32-3-3

(方法：对矩阵A做一系列初等变换将A化为阶梯形矩阵，其中不为零的行数即为A的秩.)

解

因为

由此可知r（B）=r（A）=2<4，故方程组有无穷多个解.可得到同解方程组为：

A=

12130-32-50

1003-60130

111

1542-1-3

00

→1100

1003-6-61332-5-5

1

x1=-2x3+5x4-4x2=x3-3x4+3

，

→

故方程组的通解为：

所以r（A）=2

1.2求乘积矩阵的秩

例2已知矩阵

1x11x21x311x4

数）.

例4

11-4113=1101101

11-2

111+111110115

11-3k1+11011111k211

（其中k1k2为任意的常

A=

110211110

00

110

1110，B=

1010

00100001

11，求AB的秩.11

1100

0010

0001

判断齐次线性方程组x1+0x2-x3=0的解的情况.

1

2x1+x2-x3=0

-x1+2x2+x3=0

解该方程组的系数矩阵为A=

（方法：可先计算两个矩阵的乘积，然后求乘积矩阵的秩，从而转化为例1的情形）

21-1021

102-11-1

-1-11

100

，对矩阵A进

行初等行变换来求出矩阵A的秩，即：

解因为矩阵AB=

211110111

100

=

100

110321110111110101321

00

111010101111

→

A=

010

=C，

21-1102-101

100

00

→

-1-11

00

→010

1-12001

00

→

100

，

010-101

那么对矩阵C进行初等行变换得：

C=210

110111

00

→

211100101

故r（A）=3，所以该方程组只有零解.

1.4利用矩阵的秩来判断向量组的线性相关性

→

例5

100

111-1

判断向量组α1=

1213112111，α2=11711911-1111，α3=

11-211-3

2179

11的线性11

-11-2-3

相关性.

由此得到r（AB）=r（C）=31.3在解方程组中的应用

解α1，α2，α3把列向量

111-1

写为矩阵的形式为A=

12131111

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利用矩阵的初等行变换把矩阵A化为行阶梯形，即

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2

333

-1000

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-1-274

010-1A=0203

2

2179-11-2-3

001000→000000001000→000000

2300-1000

00，00

01000000

2.3

42-7-4

001000→000000

4100-1-100

001000→000000

01003-100

00=B,00

把矩阵B的列向量设为β1，β2，β3，很明显β3=3β1-β2，所以α3=3α1-

由此可知r（A）＝2<3，所以向量组α1，α2，α3线性相关.

α2，因此向量组α1，α2，α3线性相关.

求Rn中矩阵组的极大无关组例8

求R

2×2

矩阵的初等变换的应用

由于初等变换不改变矩阵的秩，借助矩阵的初等变换来解决Rn

中的一些习题：

2.1证明Rn中两个向量组等价

例6已知α1=（3,4,8），α2=（2,2,5），α3=（0,2,1），β1=（1,2,3），β2

A1==

=（1,0,2）是Rn中的向量组，证明α1，α2，α3与β1，β2等价.

证明把α1，α2，α3排成列作为矩阵A,把β1，β2排成列作为矩阵

01-2-2

00

01

2×2

中矩阵组：

-1-1

00

，A

2

=

002-1

00

，A

3

=

0102

，A

4

的一个极大无关组.解

取R

中的一组基E11=

B.

令C=（A，B）=

348225021123102

，

1000

00

，E12=

0010

，E21

=

0100

00

，E22=

000012

01

0-21-2

然后用A1，A2，A3，A4在该基下的坐标

矩阵D是对矩阵C运用初等行变换得到的，并且使得D的前三列是A的简化的阶梯形矩阵，

作为列向量构造出矩阵C，对矩阵C施加初等行变换，即：

3

即C=（A，B）=4

8=D，

348

225021123102

00

1→0

00102301-10-120

0100000001000000

C=

000-1010-1

11301370

020-11-1-101-1-30

设D的列向量为λ1，λ2，…，λ5,容易得到λ4=λ1-λ2，λ5=-λ1+2λ2,所以β1=α1-α2，β2=-α1+2α2，表明β1，β2可由α1，α2，α3线性表示.同样，对C施加初等行变换得到E，使E的后两列是B的简化的阶梯形矩阵：

02-100-100

C=（A，B）==E,

225021123102

00

→

2101101-10100010

000000，00

→

00100-1→

00-100001000-1002000

02-101310

10201-1-10

1-2-20

00→00

→

0000

使E的列向量为γ1,γ2,…,γ5，容易得到γ1=2γ4+γ5,γ2=γ4+γ5,γ3=γ4-

由此可知r（C）=3，且矩阵C的第1,2,3个列向量是矩阵C的列向量组的一个极大无关组，所以A1，A2，A3是一个极大无关组.

γ5,所以α1=2β1+β2,α2=β1+β2,α3=β1-β2,表明α1，α2，α3可由β1，β2线性表示，故α1，α2，α3与β1，β2等价.

3结束语

2.2

判断Rn中一个向量组的线性相关性

例7判断向量组α1=（2,-1,3，1），α2=（4,-2,5，4），α3=（2,-1,4，-1）

线性相关性.

矩阵是高等代数以及线性代数的主要研究对象之一，同时也是研究高等代数（线性代数）的重要工具．以上通过一些具体的例子来说明矩阵的秩在解题中的应用，虽然不够深入，诚希起到抛砖引玉之效．S

【参考文献】

［1］北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组，编．王萼芳，石生明，修订.高等代数．3版[M].北京：高等教育出版社，2003.

解A=

020-10301

4-2542-14-1

00→00010-10302

4-254-1-142

00→00

［责任编辑：薛俊歌］

（上接第86页）10D。夹表器安装于检定管线入口端，检定管段出口端引到室外，出口端向上方排放气体，出口处安装管道复合式消音器以降低噪声污染。

由于小流量用的喷嘴喉径只有几毫米，为防止压缩空气中的油、水成份和尘屑而造成的淤塞，在装置的上游进气端须配置过滤器，滤除来自储气罐的颗粒物，过滤精度满足流量校准装置的使用，以保证输出洁净的空气气源。2.3校准装置测控系统

为了方便流量校准装置使用，测控系统采用上、下位机形式。下位机实现现场信号测量及部件控制。上位机采用工业控制计算机，主要完成数据处理、文件管理、数据记录打印。上位机与下位机之间通过总线通讯传输数据。微机检定软件能将检定的各个数据清晰有序的显示在操作界面上。如喷嘴背压比实时监视喷嘴是否处于临界流状态，确保检定数据真实、可靠；被检流量计信号的显示可以实时显示流量计的工作情况。通过它可以判断流量计的接线是否正确、流量是否稳定、工作是否正常。提高检定的效率，减少不必要的能耗成本。所有阀门的控制，即可以通过现场的控制装置实现，也可以通过远程的工控机远程实现。

校准装置的所有控制阀门包括开关阀和调节阀均采用电动调节阀。

3结语

由于音速喷嘴具有重复性好、工作特性稳定、结构简单、准确度高、无可动部件、维护方便、检定周期长等诸多优点，使得音速喷嘴法气体流量校准装置得到越来越广的应用。本文结合民用飞机环境控制试验室实际情况，建立了一套适用于环境控制试验室的音速喷嘴法气体流量校准装置。S

【参考文献】

［1］王池,王自和,张宝珠,孙淮清.流量测量技术全书[M].北京:化学工业出版社,

2012,6.

［2］于华伟,张永胜,刘彦军,白银.正压法音速喷嘴气体流量标准装置的建立[J].计测技术,2008,28(增刊):113-115.

［责任编辑：汤静］

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