高等数学中整体思想的具体运用

高等数学中整体思想的具体运用

鲁

洁

（南昌陆军学院科文教研室。江西南昌３３０１０３）

摘要：整体思想在高等数学中应用广泛，本文主要从整体解析、整体换元、整体配凑三个方面用具体的例子来说明整体思想在教学过程中的应用。

关键词：高等数学整体思想具体运用

数学教学不能仅仅满足数学知识的灌输．还应重视能力

和素质的培养，使学生掌握最本质的东西——数学思想．数学

思想是数学的灵魂．是对数学知识、方法和数学规律的本质认识；而整体思想正是数学思想中的重要组成部分．是解决数学问题的重要策略．整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造．发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，触及问题的本质，从而进行有目的的、有意识的整体处理．将整体思

想渗透到数学教学及解题中．使学生体会并能灵活运用．这将

有利于整个高等数学的学习．教师应该仔细专研教材，挖掘教材中的整体思想，设计整体思想的讲授方法．本文将从以下几个方面说明整体思想的具体运用．

一、整体解析

纵观全局或改变思考问题的角度。或调整问题的结构形式，将问题的规律、特征明朗化。从而得到全新的思路．高等数

学中复合函数的相关内容都应该用整体思想去分析和思考。

具体地应用在复合函数的解析式分析、定义域的求解、求导运

算，以及幂级数展开。当然还有变限积分函数的求导运算也离不开整体思想．

例１：设ｆ（ｘ）＝Ｘ‘‘－－Ｘ，求ｆ（一ｘ），ｆ［ｆ（ｘ）］．

分析：其运算规则看成是ｆ（

）＝（

）‘一（

），那么

（）就是一个整体符号，要求ｆ（一Ｘ）及ｆ［ｆ（ｘ）］，就是将一Ｘ，ｆ（ｘ）为一整体分别代入（）即可，即

ｆ（－ｘ）：（一ｘ）２ｍ（－ｘ）＝】【２＋ｘ．

ｆ［ｆ（ｘ）］－－－－ｆ（Ｘ‘一Ｘ）－－－－（Ｘｋ—ｘ）‘一（ｘ‘－ｘ）：ｘ’一２ｘ。＋ｘ．

例２：求函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ！；＋—＝兰＝的定义域．

５

、／２５一ｘ２

分析：函数的定义域就是使ｆ（ｘ）有意义的全体ｘ的集合．我

们对自然定义域的几种情况已经很熟悉。这里涉及到反』Ｅ弦

ｙ＝ａｒｃｓｉｎｘ中的ｘ必须满足一ｌ≤ｘ≤１．负数不能开偶次方及分母不等于零．在求解过程中引入整体概念。可将！兰、２５－ｘ‘看成

５

’

～ｌ

整体，其中！三整体充当ｙ＝ａｒｃｓｉｎｘ中ｘ位置。所以应当介

５

于一ｌ到１之间，即一ｌ≤三兰≤ｌ；同１刊＇２５一ｘ‘整体充当ｖ＝、／ｉ中

５

。

的ｘ，并且、／ｘ还在分母的位置上，所以有２５一ｘ‘＞０．然后求两

个不等式解集并求交集即可．

例３：已知ｙ＝（ｘ‘＋２）“，求Ｙ’．

分析：对于一般函数都有［ｆ（）］’＝ｆ，（）?（）’，

那么对于复合函数ｖ：（ｘ２＋２）３０（由Ｙ：１１３０与ｕ：ｘ２＋２复合而成）就是

将ｘ‘＋２作为一整体放入到（）中，这样对于复合函数求导

就非常方便和简单了．即：

ｙ，＝３０（ｘ２＋２）２９．（ｘ２＋２），＝６０ｘ（ｘ２＋２）嚣．并且整体解析还可用于函数式子的求解及幂级数展开中．

例４：将ｆ（ｘ）＝ｅ１展开为Ｘ的幂级数．

分析：由于我们用直接展开法计算知道ｅ。：ｌ＋ｘ＋土ｘ２＋！ｘ３

２１

３

＋…＋去ｘｎ＋…，可将其展开规则看成是ｅ‘

’＝１＋（

）＋去（

）２

＋．去（

）３＋…＋ｊ１（

）“＋…，那么（

）就是一个整体符

号，要求ｆ（ｘ）＝ｅ‘的展开式，就是将ｘ‘为一整体代入到（）

中．即

ｅ。’．１＋（ｘ２）＋去（ｘ２）２＋ｌ（ｘｚ）３…吉（ｘ２加?

：１＋ｘ２＋．∑＋．∑＋…＋．！【＿＋…．

２１

３１

ｎ！

例５：已知ｙ《“、ｖ／ｌ＋ｔ２ｄｔ，求ｙ’．

分析：这个函数就是ｙ可：’Ｖ１＋ｔ２

ｄｔ与（

）＝ｓｉｎｘｇ合而

成，所以ｙ，＝［《’、／ｌ＋ｔ２ｄｔ］，．（

），：、／１＋（

）２．（

），，

即：ｖ’＝Ｖｌ＋ｓｉｎ‘ｘ?（ｓｉｎｘ）’：ｃ∞ｘ?Ｖ１＋ｓｉｎ２ｘ．

二、整体换元

对有的数学问题，注意其整体结构．可以采用整体换元．改变解题角度，这样能避免冗长的运算．使问题简化．定积分

中的换元积分法就是整体换元思想的一个很好体现．

例６：求．『（２ｘ一３）‘ｋ．

分析：已知Ｈ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ，其运算法则是ｊ－ｆ（

）ｄ（

）＝Ｆ（）＋Ｃ，那么（）就是一个整体符号，要求

ｆ（２ｘ一３）“ｄｘ，则被积函数中的２ｘ一３与积分变量不“协同”。所以

我们就要想办法凑成一致的整体．即

－ｆ（２ｘ一３）１。ｄｘ＝Ｓ（２ｘ一３）”ｄ（２ｘ一３）．ｉＩ：｛．『（２ｘ一３）１０ｄ（２ｘ一３）

再令２ｘ一３这一整体式子为变量Ｕ．所以

Ｓ（２ｘ－３）’‰＝ｌＳ（２ｘ－３）’ｏｄ（２ｘ－３）＝÷ｎ１０ｄｕ＝去ｕ“＋ｃ

最后再将ｕ＝２ｘ一３整体回代即可．

例７：求Ｊ．——Ｌ—ｄ】【．

分析：被积函数中含有、／甭，这属于第二换元法中的根

１＋俪

代换，即将根式看成一个整体、／甭＝ｕ，则ｘ＝ｕＺ＿２．用一个整体

代换后将原先含根式的式子转化为有理函数．方便积分．

，瓦杀ｄｘ＝，土＂２ｕｄｕ＝ｌ＋ｕ

ｌ＋、／ｘ＋２

玎兰ｌ＋ｕｄｕ剐（１－击Ｕ）ｄｕ，

＼

ｌ＋７

＝２（ｕ－ｌｎｌｌ＋ｕ１）＋Ｃ

最后再将Ｕ－－、／ｘ＋２整体回代即可．

三、整体配凑

对一些以固定条件形式出现的命题．只有通过配式凑项，设置待定常量，才能使用固定已知结论。去解决问题．整体配

凑在高等数学极限这一章中应用广泛，集中体现在两个重要

案数例学

与通实识验课教教学学法中在的大应学用

华洪波张利兵

（淮阴工学院数理学院，江苏淮安２２３００１）

摘要：数学通识课是大学工科的公共基础课，是培养还不知道如何用学过的知识解决实际问题。所以，我们有必要学生思维、掌握数学基本理论和方法的重要课程。而传统的数对Ｔ科数学教学内容和教学方法进行改革研讨。本文结合一学教学存在的一个最主要的问题就是理论与实践联系不够密般本科Ｔ．科院校的教学实际情况．提出了案例与实验教学

法。案例教学和数学实验相结合是一种新颖的教学法，它将

通过利用数学计算机软件．做到实践与理论有机结合。从而培数学知识、数学建模与计算机应用ｉ者融为一体。将数学建养工科大学学生的实践能力与创新能力。模的案例恰当地融人到数学通识课教学中．使学生了解数学关键词：数学通识课案例数学实验模型，并且通过数学实验使学生熟悉常用的数学软件，培养学

生运用所学知识建立数学模型．应片ｊ计算机解决数学『廿】题的

一、引言能力。

工科类数学教育是培养面向生产、管理、服务等第一线工二、案例实验教学的优势

作的高级技术应用型人才，工科类数学教育与专业数学教育案例实验教学法＿２一是以实际工作中遇到的问题为背景．有着根本的区别，工科类教育强调在所有的教学过程中必须引导学生进行思考、总结、分析与互相讨论，通过数学的理论注重学生能力的培养…。数学通识课作为高等学校重要的基和方法转化为数学模型，然后运用数学软件和计算机的手段础课程．对学生后继课程的学习和思维素质的培养起着重要解决『口Ｊ题。即从一个实际问题出发，来讨论分析如何解决这个的作用。这就要求数学教师在传授数学知识的同时，更要注重问题。每个问题的解决基本上是通过“问题的提出一建立数学培养学生分析问题、解决问题的能力，适当扩大知识面，使他模型一分析研讨一计算机处理一小结与进一步思考”等几个们在思维、认识和学习方法上有根本的转变。从目前大多教材过程。

与教法看．教学内容仍然未脱离数学专业的模式，注重结论的与传统的教学法相比。案例实验教学法有以下几方面的推断和理论方法的研究。导致许多学生不明白开设数学这门优势。

课的真正目的．不知道学数学有什么用，甚至在学完该课程后（１）案例可以把抽象的原理、概念等具体化，把它们置于

三ｆ一三１．＿２

其中两个重要极限有其固定的形式，分别为ｌｉｍ兰坚＝ｌ、Ｉ加Ｘ磐（?一号）１＝．ｉＩ！ｌ［?＋（一号）】、“＝ｅ－２．

而等价无穷小量的替换作为极限计算的一种重要方法，它

的广泛使用也要被熟练掌握．我们建议熟记几个常用的等价无穷

ｇ－－－ｃ０

小量，比如当ｒ＋ｏ时，ＳｉｌｌＸ—Ｘ，ｌ－－ｅｏｓｘ～妻ｘ２，ｌｎ（１＋ｘ）－ｘ，ｅ‘一ｌ峭等，

ＯＵ其实这些都可以推广为：当（）枷时，ｓｉＩｌ（）一（）。ｌ—到了整体思想．将其推广为ｌｉｍ竺斗：ｌｃｏｓ（）．

ｌ）一妄（）２，ｌｌｌ［１＋（）］．（），ｅ‘）－ｌ～（

ｌｉｒａ［１＋（）］‘’＝ｅ，

ｔ）１（）（）卅例１０：求ｌｉｍ！二！竺兰

那么（）就是一个整体符号，只要符合要求“趋近于０”“ｌｎ（１一ｘ‘）

即可以随便填：同样若不统一则需要有技巧地配凑以达到一分析：分母ｌｎ（１－ｘ２）相当于（＿Ｘ２）作为整体，即ｌｎ（１－ｘ２）ｑ２，

因此

ｌ２例８：求ｌｉｍ—ｓｉｎ—３ｘｘⅧＸ

分析：首先将３ｘ看成一个整体．然后将极限过程中的ｘ及分ｌｉｍ！二！竺：ｌｉｍ三一＿－土．删Ｉｎ（１一ｘ２）一一ｘ２２

综上所述，从整体上去认识、思考问题，常常能化繁为简、

１ｉｒａ．ｓｉｎ３＿＿＿ｘｘ：ｌｉｍ

ｒ＿ｏｘ，ｒ哪ｓｉｎ３＿＿＿＿ｘｘ一３３．１ｉｍ坐坠！：３．变难为易．同时也能培养学生思维的灵活性、敏捷性：并且整３ｘ，（３１）—．ｏ（３ｘ）体思想蕴含在数学的各个教学内容中．我们要充分挖掘教材

内涵．在课堂教学中适时渗透整体思想．引导学生应用整体思

椤！１９：求螈（?一号）。想解题，让学生体会整体思想的奇妙作用。享受成功。从整体

上着眼，巧妙构思，灵活应用整体思想解决问题，提高数学素质．

分析：根据ｌｉｒａ［１＋（）］‘’＝ｅ的固定形式，知道参考文献：

“ｌ＋（）”中的（）就是一个整体，只要极限是Ｏ就可以，［１］陈伯利．数学教学中整体思想的培养［Ｊ］．宁波大学学而题目中是（一号）—．ｏ，因此极限过程与指数向着（一号）去报，２００５。６．

［２］杨艳萍．微积分中的局部与整体思想分析［Ｊ］．洛阳大

学学报，２００５，１２．切。为改变这种状况。本文采用“案例与实验”相结合的方法，极限的应用．以及等价无穷小量的替换．ｌｉｍ（１＋ｘ）‘：ｅ．之所以称为两个重要极限是因为应用非常广泛，大量的呈（主要指式子中含有三角函数的婴型）型，１。型都可以用这两个重要极限去计算．在分析的过程中就是运用致就町以利用固定的形式解题．母中的ｘ配凑成一相同整体．