2015年中级计量A中期作业题

2014级中级计量经济学A中期练习题

（2015.4.22）

1、分别从数理和经济的角度，简述对每一条古典假定的含义和作用的理解。 答：为了得到参数的最优估计量，提出了以下五条古典假定：

（1）零条件均值假定：E(u|X)?0,含义是ui的条件均值为零。其作用是它可以保证估计量的无偏性。

（2）球形扰动假定：Var(u|X)??2I，含义

方差矩阵为同方

差且无自相关同时成立时的情况。其作用是保证参数估计的有效性。 是指随机扰动项的方差-协

u)?0，含义是解释变量与扰动项不相关，表示随机扰动项中不 （3）外生性假定：E(X?

包含有解释变量的任何信息。其作用是保证参数估计的一致性，这是最重要的也是最基本的假定，若违反了此假定参数估计也变得没有意义。

X)?k，含义是解释变量无共线性，作用是为了保证条件期 （4）满秩性条件：Rank(X?

望的唯一性，参数可求解。

（5）正态性条件：uN(0,?2I)，含义是扰动项服从正态分布，主要与统计检验和推断有关，作用是使得参数服从正态分布，从而对参数进行估计，但在大样本的条件下，根据中心极限定理这个条件是可以放宽的。

2、对线性回归模型Y?X??u，试用最小二乘法和极大似然法估计参数?和随机扰动项的方差?，并且说明和比较在满足古典假定的条件下，参数?与扰动项方差?的估计量的性质。 22

??(X?X)?1X? 答：最小二乘法（OLS）估计的参数β估计量?Y，随机扰动项方差σ2的估计??e?量?2?k??(X?；极大似然估计法（ML）估计的参数β估计量?X)?1X?Y，随机扰动ML

?ML?项方差σ2的估计量?21?)?(Y?X??)，与OLS的?2的估计参数不一样，差别(Y?X?MLMLn

2在分母上。在满足古典假定的条件下，OLS对?的估计量是最佳线性无偏估计（BLUE）,对?

的估计量是一致最小方差无偏估计（UMVUE）。具有线性特性、无偏性和有效性，线性估计量不仅比非线性估计量更为简单，计算更为方便，并且线性估计量比较容易确定其概率分布性质。此外，OLS估计的最小方差特性和无偏特性结合起来，使得按同样的置信度，OLS的估计量的置信区间最小，最集中于真实值周围。ML与OLS对?的估计量是一样的，对随机扰动项方差σ2的估计量与OLS的估计参数不一样，是对σ2的有偏估计，但是一致估计量。

3、说明在一般线性框架下，检验统计量F?(RSSR?RSSU)q的内在含义。 RSSUn?k)

答：在一般线性框架下，检验统计量F?(RSSR?RSSU)q的内在含义是对多元回归模型RSSU(n?k)

Y??1??2X2?，并拟合一个受约??kXk?u的统计检验，进行一般的线性假设（原假设）

束的回归，用受约束模型的残差平方和与无约束模型的残差平方和之差RSSR?RSSU的大小即可来推断原假设是否成立，即参数估计是否具有显著性。

4、简述LR、Wald、LM三大检验的基本原理和思路步骤；

答： LR检验：（常适用于线性约束的检验，需要估计有约束和无约束的对数似然值）

?,??)?lnL(?,?)? 对大样本来说，统计量LR??2ln??2?lnL(??22??2(q)，

?,??2)是无约束的最大似然值，L(?,?2)是有约束条件的最大似然值。具体地，统计量L(?

2LR如果很大，则应拒绝原假设，或者说似然比检验的拒绝域为LR??1??(q)，其中??

?1??(X??12??(q)为卡方分布的1??下侧分位数。思路步骤：?把?X)X?Y与ML

1?)?(Y?X??)代入似然函数得无约束的最大似然值L(??,??2?2)；?检验??(Y?X?MLMLMLn

假设Ho:R??r?0；?最大化lnL???(R??r)，可得约束条件下的?，此时的残差为

?e*??e，而?2的带约束的极大似然估计为?2?e*，最后计算约束条Y?X??Y?X?**n

件下的最大似然值L(?,?2)；④求得LR，并进行LR检验。

Wald检验：（适用于线性约束和非线性约束检验，只需估计无约束的模型）

Wald检验的一般公式可表述为：对于原假设H0:c( )?0（ 是未知参数），?)'[Varc( ?)]?1c( ?)W?c( 如果的值大于卡方分布的上侧分位数，则拒绝原假设。 ?2(q)。

LM检验：（适用于线性约束和非线性约束检验，只需估计有约束模型）

2对于大样本来说，LM?nR2(卡方分布的?上侧分位数)时，?2(q)，当nR2???

则拒绝原假设。思路步骤及基本原理：LM检验方法实际上是从一个较简单的模型开始，检验是否可以增加新变量，第一步就是对简单模型(变量较少)回归，得到残差e*。如果“真实”模型变量很多，则这些变量加入模型应对e*有影响。所以第二步e*对所有变量回归而得到的R的大小就将直接决定是否应该增加新变量，即约束R??r是否成立。如果R很大

2(nR2???)，则说明新增变量对e*有显著影响，即真实模型应含较多变量，或者说对参数

2的约束(比如某些?i为0)不成立。如果R较小(nR2???)，则说明新增变量对e*没有显著222

影响，真实模型就应是变量较少的简单模型，即约束条件成立。

5、设定模型为

Y?X??u '2其中E??uX???0， Var(u)?E(uu)???

模型的扰动项是非球型扰动。此时的普通最小二乘估计量有什么后果？通常用什么方法估计？White 或 Newey-West 修正的作用是什么？

答：后果：OLS的估计量虽然是无偏且一致的，但不是有效的，即只能得到线性无偏但非最 小方差的估计量。由于OLS估计量的标准差不正确，所以以这些标准差为依据建立起来的传统的t检验也是无效的。

方法：在扰动项是非球形扰动的情况下，通常采用White或Newey-West方法来估计。

作用：White 或 Newey-West修正的作用是给出了估计量方差的真实改进，增加了估计量的有效性。 当仅出现异方差时，White对k阶方阵X???X进行了一个满意的估计，以ei代替未知的?i，证明了估计量的一致性，而且不需要对异方差形式作任何的假定。对于White关于OLS估计量的方差-协方差矩阵的一致估计是建立被估计的模型的随机扰动项是序列不相关的假设上，Newey和West提出了更一般的估计量，并证明了在存在未知形式的异方差和自相关时仍然是一致的。

6、什么是内生性问题？它有什么后果？通常采用什么方法检验和修正？简述处理内生性的过程步骤。

答：如果外生性假定被违背，即Exjui?0，解释变量与扰动项相关，模型就会存在内生性问题。由此产生的后果为最小二乘的估计量将是不一致的。通常采用Hausman检验方法来检验，采用工具变量法来修正、估计模型。

Hausman检验的具体步骤如下：第一，可能的内生变量y2对所有外生变量z回归，生222??

??e，成残差序列，得到?的估计??；第二，将??加入原模型结构方程y1?z1?1??1y2???

?的t值很小，则接受原假设，表明y2是外生的；如果??的估计该结构方程；第三，如果?

t较大，则拒绝原假设，表明y2是内生的。

采用工具变量法估计模型，基本思想是利用工具变量替代内生解释变量，然后用OLS 估计模型。这一过程通常使用了两次OLS，因此称之为两阶段最小二乘(2SLS)。具体步骤如下：第一，需要找到一个可观测的工具变量z，且工具变量满足两个条件：1、z与误差项u不相关，cov?z,u??0；2、z与内生变量xk高度相关，或者说z与xk存在偏相关（即扣除其他外生变量的影响），即xk??1??2x2?

用工具变量z替代内生变量xk估计原模型。

7、遗漏变量和无关变量选取的后果是什么？有哪些方法可以检验？

答：遗漏变量的后果：1）如果遗漏变量与解释变量相关，则OLS估计量是有偏且不一致的??k?1xk?1??z??，有??0。第二，

估计量；2）如果遗漏变量与解释变量不相关，解释变量的估计量即便满足无偏性和一致性，但是截距项的估计也是有偏的；3）解释变量方差的估计值与真实的方差有偏；4）随机扰动项的方差的估计值也是有偏的；5）与方差相关的检验，包括假设检验、区间估计等都容易导致错误的结论。遗漏变量设定误差的检验方法有多种，如DW检验、拉格朗日乘数（LM）检验、一般性检验（RESET）、豪斯曼（Hausman）检验等。

无关变量选取的后果：1）参数的OLS估计量是无偏，且为一致性的；2）随机扰动项的方差的估计仍为无偏估计；3）通常的区间估计和假设检验程序依然有效；4）解释变量的估计量将不是有效估计量。对于是否误选无关变量的检验，只要针对变量系数是否为零的假设，用t检验或F检验，对可能误选的无关变量系数作显著性检验即可。 8、y对一个常数、x1和x2的多元回归结果如下：

??3?0.8x1?0.6x2，R2?，n?30 y?2800?

1??1?

024?6?X'X???840???0?612??

模型满足古典的假设条件，根据这些结果，检验两个斜率之和为1.5的假设。

????=0.8+0.6=1.4。 答：H0：β2+β3=1.5，两个估计系数的和是?23?2代替?2由e?(n?k)?来e?e(n?k，)???R(X?X)?1R??c22?2c23?c33=1/840*(24-12+12)=1/35

222?1?]?[R(X?X)?（Rn=30,k=3??ee(n?k)??2?1?1。R?），由=ESS/TSS得RSS=从而=4/7????????)]??[?(c22?2c23?[Var?2?2Cov(?2?3)?Var?3]=20?，[Var(?33)]232

??

?????????????从而检验的t统计量为：t=-1其绝对值远远小于在置(（??)t）(??)=-0.1323,(?)?t/VarVar(?)

2233

0.02523

信度α为0.05的情况下t值，因而接受原假设H0。

9、 1978年-2008年的全国居民消费水平与国民总收入等的数据如下。